Determine o domínio de
, calcule
e diga qual é o seu domínio. Sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar o domínio de
. - Calcular
. - Dizer o domínio de
.
Informações relevantes dadas: a expressão de
contém uma potência
e um fator constante no denominador
. O parâmetro
aparece sem especificação no enunciado; por isso, ao longo da resolução vou explicar os casos possíveis (por exemplo
positivo,
,
negativo,
não inteiro), indicando como cada caso muda o domínio e a derivada. Não vou pedir informação adicional — analisarei os casos mais comuns e as consequências de cada um.
Passo 2
Análise do domínio de
(regras gerais e aplicação ao problema).
Primeiro, lembrando regras simples que usamos para achar domínios:
- Uma expressão do tipo
fica indefinida se a constante do denominador for zero. Então devemos garantir que . - A expressão
é bem definida para todo sempre que for um inteiro não-negativo (potência inteira). Se for inteiro negativo, e aí aparece possível divisão por zero em . Se não for inteiro (por exemplo um número real qualquer), a expressão pode não estar definida para (a menos que usemos potências de expoente racional com denominador ímpar etc.), então o domínio fica restringido a (ou casos especiais). - A potência
é sempre positiva para todo , então para qualquer .
Aplicando essas observações ao nosso caso:
- Se
: o denominador . Logo a função está indefinida para todo . Portanto, para não existe função — domínio vazio. - Se
for um inteiro positivo ( ): então e é um polinômio em . Logo a função é definida para todo . - Se
for um inteiro negativo ( e ): o denominador é diferente de zero (pois e ), mas a potência é , que fica indefinida em . Logo o domínio é . - Se
for um número real não inteiro: para potências reais geralmente exigimos para obter valores reais (a menos que seja racional com formato que permita negativos); portanto, o domínio típico será (ou possivelmente se for inteiro não negativo), mas sem informação sobre real não inteiro é mais seguro dizer que a expressão só está garantida em .
Resumo intuitivo (antes de derivar): os casos-práticos mais usados em exercícios são
(positivo) — aí o domínio é
— e o caso
— aí não existe função. Se
for negativo, cuidado com
. Se
não for inteiro, o domínio costuma ser restrito a
.
Passo 3
Regra de derivação que vamos usar (aula-mastigada e exemplo rápido).
Regras que precisamos:
- Regra do múltiplo constante: se
com constante, então . Aqui . - Regra da potência para função linear: se
e é um número tal que a potência é diferenciável (por exemplo inteiro), então
Explicando essa regra: é a regra básica de potências. A variável
aparece numa base linear
— a derivada de
é
, então não precisamos multiplicar por Jacobiano adicional; o coeficiente
sai como fator.
Exemplo curto: se
, então
. Se
, então
. Se
a função é constante
(mas no nosso caso
é proibido pelo denominador).
Passo 4
Cálculo de
aplicando as regras (passo a passo simbólico).
Escrevemos
como constante vezes potência:
Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
Agora cancelamos o
(desde que
, que já observamos ser necessário para a função existir):
Esse é o resultado algébrico simples: o
do expoente veio da derivada e cancelou com o
do denominador.
Observação prática: quando
essa fórmula dá
o que bate com derivada de uma função afim na forma original.
Passo 5
Domínio de
— análise de casos e explicação por que coincide (ou não) com o domínio de
.
- Caso
: já vimos que não existe (denominador zero), logo falar de não faz sentido. - Caso
(inteiro positivo): a expressão é um polinômio (ou constante, se ). Assim está definida para todo . Portanto, para inteiro positivo, o domínio de é — igual ao domínio de . - Caso
inteiro negativo: então também é inteiro negativo ou mais negativo; tem singularidade em . Portanto o domínio de é , o mesmo ponto problemático do . - Caso
real não inteiro: a expressão da derivada tem as mesmas restrições de existência que (em geral exige para potências reais), então o domínio típico será (ou um subconjunto dependendo da racionalidade de ).
Resumo conceitual: a derivada que obtivemos algebraicamente tem a forma
. Onde essa expressão estiver bem definida (e lembrando que
para começar), a derivada existe. Em muitos exercícios onde
é um inteiro positivo, domínio de
e de
são ambos
.
Resposta
Domínio de
: para
não existe (
). Para
(inteiro positivo)
. Para
inteiro negativo
. Para
real não inteiro, o domínio típico é
(casos especiais dependem da racionalidade de
).
Derivada :
Derivada
Domínio de
: igual ao domínio em que
está bem definida (isto é, para
tem
; para
inteiro negativo
; para
real não inteiro tipicamente
).