Determine o domínio de f, calcule f^{\prime} e diga qual é o seu domínio. Sendo f(x) \rightleftharpoons \frac{(x-1)^{n}}{n 2^{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)\rightleftharpoons\frac{(x-1)^{n}}{n\,2^{n}}
e pede três coisas:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Calcular f'(x).
  3. Dizer o domínio de f'.
Informações relevantes dadas: a expressão de f(x) contém uma potência (x-1)^{n} e um fator constante no denominador n\,2^{n}. O parâmetro n aparece sem especificação no enunciado; por isso, ao longo da resolução vou explicar os casos possíveis (por exemplo n positivo, n=0, n negativo, n não inteiro), indicando como cada caso muda o domínio e a derivada. Não vou pedir informação adicional — analisarei os casos mais comuns e as consequências de cada um.

Passo 2

Análise do domínio de f (regras gerais e aplicação ao problema).
Primeiro, lembrando regras simples que usamos para achar domínios:
  • Uma expressão do tipo \frac{\text{algo}}{\text{constante}} fica indefinida se a constante do denominador for zero. Então devemos garantir que n\,2^{n}\neq 0.
  • A expressão (x-1)^{n} é bem definida para todo x\in\mathbb{R} sempre que n for um inteiro não-negativo (potência inteira). Se n for inteiro negativo, (x-1)^{n}=1/(x-1)^{|n|} e aí aparece possível divisão por zero em x=1. Se n não for inteiro (por exemplo um número real qualquer), a expressão (x-1)^{n} pode não estar definida para x-1<0 (a menos que usemos potências de expoente racional com denominador ímpar etc.), então o domínio fica restringido a x-1>0 (ou casos especiais).
  • A potência 2^{n} é sempre positiva para todo n\in\mathbb{R}, então 2^{n}\neq 0 para qualquer n.
Aplicando essas observações ao nosso caso:
  • Se n=0: o denominador n\,2^{n}=0\cdot 2^{0}=0. Logo a função está indefinida para todo x. Portanto, para n=0 não existe função — domínio vazio.
  • Se n for um inteiro positivo ( n\in\mathbb{N}^\ast): então n\,2^{n}\neq 0 e (x-1)^{n} é um polinômio em x. Logo a função é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se n for um inteiro negativo ( n\in\mathbb{Z} e n<0): o denominador n\,2^{n} é diferente de zero (pois n\neq 0 e 2^{n}\neq 0), mas a potência (x-1)^{n} é 1/(x-1)^{|n|}, que fica indefinida em x=1. Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Se n for um número real não inteiro: para potências reais geralmente exigimos x-1>0 para obter valores reais (a menos que n seja racional com formato que permita negativos); portanto, o domínio típico será \{x\in\mathbb{R}:x>1\} (ou possivelmente \{x\ge1\} se n for inteiro não negativo), mas sem informação sobre n real não inteiro é mais seguro dizer que a expressão só está garantida em x>1.
Resumo intuitivo (antes de derivar): os casos-práticos mais usados em exercícios são n\in\mathbb{N}^\ast (positivo) — aí o domínio é \mathbb{R} — e o caso n=0 — aí não existe função. Se n for negativo, cuidado com x=1. Se n não for inteiro, o domínio costuma ser restrito a x>1.

Passo 3

Regra de derivação que vamos usar (aula-mastigada e exemplo rápido).
Regras que precisamos:
  • Regra do múltiplo constante: se g(x)=C\cdot h(x) com C constante, então g'(x)=C\cdot h'(x). Aqui C=\frac{1}{n\,2^{n}}.
  • Regra da potência para função linear: se h(x)=(x-1)^{n} e n é um número tal que a potência é diferenciável (por exemplo n inteiro), então
\frac{d}{dx}(x-1)^{n}=n\,(x-1)^{n-1}.
Explicando essa regra: é a regra básica de potências. A variável x aparece numa base linear x-1 — a derivada de x-1 é 1, então não precisamos multiplicar por Jacobiano adicional; o coeficiente n sai como fator.
Exemplo curto: se h(x)=(x-1)^3, então h'(x)=3(x-1)^2. Se h(x)=(x-1)^1, então h'(x)=1. Se h(x)=(x-1)^0 a função é constante 1 (mas no nosso caso n=0 é proibido pelo denominador).

Passo 4

Cálculo de f'(x) aplicando as regras (passo a passo simbólico).
Escrevemos f como constante vezes potência:
f(x)=\frac{1}{n\,2^{n}}\,(x-1)^{n}.
Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
f'(x)=\frac{1}{n\,2^{n}}\cdot \frac{d}{dx}\big((x-1)^{n}\big) =\frac{1}{n\,2^{n}}\cdot \big(n\,(x-1)^{n-1}\big).
Agora cancelamos o n (desde que n\neq 0, que já observamos ser necessário para a função existir):
f'(x)=\frac{(x-1)^{n-1}}{2^{n}}.
Esse é o resultado algébrico simples: o n do expoente veio da derivada e cancelou com o n do denominador.
Observação prática: quando n=1 essa fórmula dá
f'(x)=\frac{(x-1)^{0}}{2^{1}}=\frac{1}{2},
o que bate com derivada de uma função afim na forma original.

Passo 5

Domínio de f' — análise de casos e explicação por que coincide (ou não) com o domínio de f.
  • Caso n=0: já vimos que f não existe (denominador zero), logo falar de f' não faz sentido.
  • Caso n\in\mathbb{N}^\ast (inteiro positivo): a expressão (x-1)^{n-1} é um polinômio (ou constante, se n=1). Assim f'(x)=\dfrac{(x-1)^{n-1}}{2^{n}} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, para n inteiro positivo, o domínio de f' é \mathbb{R} — igual ao domínio de f.
  • Caso n inteiro negativo: então n-1 também é inteiro negativo ou mais negativo; (x-1)^{n-1} tem singularidade em x=1. Portanto o domínio de f' é \mathbb{R}\setminus\{1\}, o mesmo ponto problemático do f.
  • Caso n real não inteiro: a expressão da derivada tem as mesmas restrições de existência que f (em geral exige x>1 para potências reais), então o domínio típico será \{x>1\} (ou um subconjunto dependendo da racionalidade de n).
Resumo conceitual: a derivada que obtivemos algebraicamente tem a forma \dfrac{(x-1)^{n-1}}{2^{n}}. Onde essa expressão estiver bem definida (e lembrando que n\neq 0 para começar), a derivada existe. Em muitos exercícios onde n é um inteiro positivo, domínio de f e de f' são ambos \mathbb{R}.

Resposta

Domínio de f: para n=0 não existe ( \varnothing). Para n\in\mathbb{N}^\ast (inteiro positivo) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. Para n inteiro negativo \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}. Para n real não inteiro, o domínio típico é \{x\in\mathbb{R}:x>1\} (casos especiais dependem da racionalidade de n).
Derivada f'(x):
f'(x)=\frac{(x-1)^{\,n-1}}{2^{n}}.
Domínio de f': igual ao domínio em que \dfrac{(x-1)^{n-1}}{2^{n}} está bem definida (isto é, para n\in\mathbb{N}^\ast tem \mathrm{Dom}(f')=\mathbb{R}; para n inteiro negativo \mathrm{Dom}(f')=\mathbb{R}\setminus\{1\}; para n real não inteiro tipicamente \{x>1\}).

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