Determine o domínio de f, onde a função é dada por:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+2};

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f definida pela série infinita
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+2}.
Informações dadas:
  • A soma é uma série infinita em n, com termos \dfrac{x^{n}}{n+2}.
  • A variável é x\in\mathbb{R} (assumimos domínio real).
  • Precisamos encontrar todos os valores de x para os quais a série converge (ou seja, o domínio de f).

Passo 2

Vamos entender a estratégia: séries da forma \sum_{n=1}^\infty a_n x^n são séries de potências centradas em 0. Para elas existe um raio de convergência R tal que:
  • converge absolutamente para |x|<R,
  • diverge para |x|>R,
  • e os pontos |x|=R (os extremos) devem ser checados separadamente.
Uma maneira prática de achar R é usar a fórmula com o limite superior da raiz enésima:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
onde aqui a_n=\dfrac{1}{n+2}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
Calculemos
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n+2}}=\left(\frac{1}{n+2}\right)^{1/n}.
Usamos o fato (que explico rapidinho): para qualquer sequência que cresce polinomialmente como n^\alpha, a sua raiz enésima tende a 1. Em particular \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+2}=1, então
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+2}\right)^{1/n}=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1,
e assim pelo fórmula do raio,
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

Conclusão básica do raio: a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1.
Explico por que: para |x|<1,
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^{n}}{n+2}\right|}=\limsup_{n\to\infty}\left(|x|\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n+2}}\right)=|x|\cdot 1=|x|<1,
então a raiz enésima mostra convergência absoluta. Para |x|>1, a mesma razão dá \limsup>1, logo divergência. (Outra intuição: para |x|>1, x^n cresce exponencialmente e não é vencido pelo divisor n+2, então os termos não tendem a zero.)
Resta verificar os pontos na fronteira: x=1 e x=-1.

Passo 4

Análise em x=1:
Substituindo x=1 obtemos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n+2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2}.
Fazendo a mudança de índice k=n+2 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k}.
Mas \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} (a série harmônica) diverge; remover os primeiros termos não muda a divergência, logo \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{1}{k} também diverge. Portanto a série diverge em x=1. Conclusão: x=1 não pertence ao domínio.

Passo 5

Análise em x=-1:
Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+2}.
Esta é uma série alternada com termos de módulo
b_n=\frac{1}{n+2}.
Aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, monótona decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificações:
  • b_n>0 para todo n.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{n+3}<\dfrac{1}{n+2}=b_n, então b_n é decrescente.
  • \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+2}=0.
Logo, pela regra de Leibniz, a série converge em x=-1. Observação adicional (útil na prova): a converge é condicional, porque a série dos valores absolutos é \sum 1/(n+2), que já vimos diverge.

Passo 6

Reunindo tudo:
  • Convergência absoluta para |x|<1.
  • Divergência para x>1 e para x=1.
  • Convergência condicional em x=-1.
    Portanto o conjunto de todos os x reais onde a série converge é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [-1,1).

Resposta

[-1,1)

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