Determine o domínio de f, onde a função é dada por: f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+2};
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função f definida pela série infinita
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n+2}.
Informações dadas:
A soma é uma série infinita em n, com termos \dfrac{x^{n}}{n+2}.
A variável é x\in\mathbb{R} (assumimos domínio real).
Precisamos encontrar todos os valores de x para os quais a série converge (ou seja, o domínio de f).
Passo 2
Vamos entender a estratégia: séries da forma \sum_{n=1}^\infty a_n x^n são séries de potências centradas em 0. Para elas existe um raio de convergência R tal que:
converge absolutamente para |x|<R,
diverge para |x|>R,
e os pontos |x|=R (os extremos) devem ser checados separadamente.
Uma maneira prática de achar R é usar a fórmula com o limite superior da raiz enésima:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
onde aqui a_n=\dfrac{1}{n+2}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
Usamos o fato (que explico rapidinho): para qualquer sequência que cresce polinomialmente como n^\alpha, a sua raiz enésima tende a 1. Em particular \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+2}=1, então
então a raiz enésima mostra convergência absoluta. Para |x|>1, a mesma razão dá \limsup>1, logo divergência. (Outra intuição: para |x|>1, x^n cresce exponencialmente e não é vencido pelo divisor n+2, então os termos não tendem a zero.)
Resta verificar os pontos na fronteira: x=1 e x=-1.
Mas \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} (a série harmônica) diverge; remover os primeiros termos não muda a divergência, logo \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{1}{k} também diverge. Portanto a série diverge em x=1. Conclusão: x=1 não pertence ao domínio.
Passo 5
Análise em x=-1:
Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+2}.
Esta é uma série alternada com termos de módulo
b_n=\frac{1}{n+2}.
Aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, monótona decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Verificações:
b_n>0 para todo n.
b_{n+1}=\dfrac{1}{n+3}<\dfrac{1}{n+2}=b_n, então b_n é decrescente.
Logo, pela regra de Leibniz, a série converge em x=-1. Observação adicional (útil na prova): a converge é condicional, porque a série dos valores absolutos é \sum 1/(n+2), que já vimos diverge.
Passo 6
Reunindo tudo:
Convergência absoluta para |x|<1.
Divergência para x>1 e para x=1.
Convergência condicional em x=-1.
Portanto o conjunto de todos os x reais onde a série converge é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [-1,1).