(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
(c):
(c):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos quanto a: ordem, linearidade e homogênea / não homogênea. As informações relevantes são: aparece
e aparece
(derivada primeira); não há deriva-das de ordem maior nem termos explícitos em função só da variável independente.
Passo 2
Ordem — definição e aplicação.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece (segunda derivada) a ordem é
; se o maior é
a ordem é
.
Aplicando à equação dada: o maior derivado que aparece é (primeira derivada). Logo a ordem é
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece
Aplicando à equação dada: o maior derivado que aparece é
Passo 3
Linearidade — definição e teste.
Definição: uma equação diferencial é linear (de ordem ) se pode ser escrita na forma
Definição: uma equação diferencial é linear (de ordem
onde os coeficientes
e o termo
dependem somente da variável independente (por exemplo
), e a função incógnita
e suas derivadas aparecem somente multiplicadas por esses coeficientes e com potência
(ou seja, não aparecem termos como
,
,
, etc.).
Teste na equação dada: há o termo , ou seja, a derivada primeira aparece elevada ao quadrado. Isso viola a condição de aparecimento linear (potência diferente de
). Portanto a equação é
Teste na equação dada: há o termo
Passo 4
Homogênea / não homogênea — explicação do conceito e aplicação.
Definição usual (para equações lineares): uma equação linear é dita homogênea se o termo independente for zero, isto é, se na forma
Definição usual (para equações lineares): uma equação linear é dita homogênea se o termo independente for zero, isto é, se
Se
é não homogênea. Observação importante: essa classificação (homogênea / não homogênea) é uma propriedade de equações lineares; para equações não lineares essa nomenclatura, no sentido acima, não se aplica de forma direta.
Aplicando ao caso: como já determinamos que a equação é não linear, a classificação homogênea / não homogênea (no sentido de equação linear) não é aplicável. Podemos dizer com precisão:
Aplicando ao caso: como já determinamos que a equação é não linear, a classificação homogênea / não homogênea (no sentido de equação linear) não é aplicável. Podemos dizer com precisão:
Passo 5
Resumo final das decisões e resposta concisa.
- Ordem:
porque só aparece . - Linearidade: não linear porque existe o termo
. - Homogênea / não homogênea: não se aplica no sentido usual de equações lineares, já que a equação é não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Homogênea / não homogênea: não se aplica (equação não linear)
Linearidade: não linear
Homogênea / não homogênea: não se aplica (equação não linear)