(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
(c): \left(y^{\prime}\right)^{2}+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y'\right)^{2}+y=0
e pede que a classifiquemos quanto a: ordem, linearidade e homogênea / não homogênea. As informações relevantes são: aparece y e aparece y' (derivada primeira); não há deriva-das de ordem maior nem termos explícitos em função só da variável independente.

Passo 2

Ordem — definição e aplicação.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece y'' (segunda derivada) a ordem é 2; se o maior é y' a ordem é 1.
Aplicando à equação dada: o maior derivado que aparece é y' (primeira derivada). Logo a ordem é
\text{Ordem: }1.

Passo 3

Linearidade — definição e teste.
Definição: uma equação diferencial é linear (de ordem n) se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo g(x) dependem somente da variável independente (por exemplo x), e a função incógnita y e suas derivadas aparecem somente multiplicadas por esses coeficientes e com potência 1 (ou seja, não aparecem termos como (y')^2, y\cdot y', \sin(y), etc.).
Teste na equação dada: há o termo \left(y'\right)^2, ou seja, a derivada primeira aparece elevada ao quadrado. Isso viola a condição de aparecimento linear (potência diferente de 1). Portanto a equação é
\text{Não linear.}ã

Passo 4

Homogênea / não homogênea — explicação do conceito e aplicação.
Definição usual (para equações lineares): uma equação linear é dita homogênea se o termo independente for zero, isto é, se g(x)=0 na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + \cdots + a_0(x)\,y = g(x).
Se g(x)\neq 0 é não homogênea. Observação importante: essa classificação (homogênea / não homogênea) é uma propriedade de equações lineares; para equações não lineares essa nomenclatura, no sentido acima, não se aplica de forma direta.
Aplicando ao caso: como já determinamos que a equação é não linear, a classificação homogênea / não homogênea (no sentido de equação linear) não é aplicável. Podemos dizer com precisão:
\text{Classificação homogênea / não homogênea: não se aplica (equação não linear).}çãêãêãçãã

Passo 5

Resumo final das decisões e resposta concisa.
  • Ordem: 1 porque só aparece y'.
  • Linearidade: não linear porque existe o termo \left(y'\right)^2.
  • Homogênea / não homogênea: não se aplica no sentido usual de equações lineares, já que a equação é não linear.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear
Homogênea / não homogênea: não se aplica (equação não linear)

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