Estude a função Gama e
Mostre que
, para
;
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para
. Informações relevantes fornecidas implicitamente: queremos a transformada de Laplace da função
definida em
e a condição
para que a integral da transformada convirja.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aqui eu te explico com calma): para uma função
definida para
, a transformada de Laplace é
onde a integral tem que convergir. No nosso caso
, então a transformada é a integral imprópria
Vou verificar rápida e informalmente a convergência: perto de
o integrando se comporta como
, que é integrável (porque
converge). Para
o fator
com
domina e garante decaimento exponencial, então a integral converge. Portanto faz sentido prosseguir.
Passo 3
Introduzo a função Gama (essa é a ferramenta chave): a função Gama é definida, para
, por
Aqui
pode ser real ou complexo com parte real positiva; a integral converge sob essa condição. Note que a Gama generaliza o fatorial, mas o que interessa para nós é a forma integral.
Passo 4
Faço a substituição apropriada na integral da transformada de Laplace para ligar com a Gama. Começo escrevendo a transformada de
de forma geral (isso é uma técnica padrão que é útil na prova):
Faço a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo na integral,
Separei as potências de
:
Logo
Passo 5
Reconheço a integral obtida como a função Gama:
desde que
. Portanto a relação geral é
válida para
e
. Essa é a fórmula que vou usar com
.
Passo 6
Aplico a fórmula com
. Obtenho
Agora preciso calcular
.
Passo 7
Cálculo de
. Pela definição,
Faço a substituição
. Então
e
. Substituindo:
Mas a integral gaussiana conhecida é
Portanto
Passo 8
Voltando à transformada: substituindo
em
obtemos
Escrevendo de forma mais habitual,
para
, que era o que queríamos demonstrar.