Determine o domínio de
e calcule
( 20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função $ f(x) $ e calcular a derivada $ f’(-1) $. A função está definida por uma série infinita, então vamos precisar entender onde essa série converge para achar o domínio e depois usar as regras de derivação de séries para encontrar $ f’(-1) $.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função $ f(x) $. O domínio é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a série converge.
Passo 3
A função é dada por:
Essa é uma série de potências, que tem a forma geral:
Para encontrar o intervalo de convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identifique $ c_n = \frac{(-1)^n}{n(n-1)} $ e a base da potência é $ (x + 3) $. Aplicando o teste:
Simplificando:
Como $ \frac{n-1}{n+1} $ tende a 1 quando $ n $ vai para o infinito:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade $ |x + 3| < 1 $:
Subtraindo 3 de todas as partes:
Então, o domínio da função $ f(x) $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada $ f’(x) $ e, em seguida, avaliar em $ x = -1 $. Primeiro, derivamos a série termo a termo. A derivada de $ f(x) $ é:
Derivando cada termo:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos trocar o índice de soma, deixando $ m = n - 1 $. Então, quando $ n = 2 $, $ m = 1 $, e a série fica:
Isso nos lembra a série do logaritmo natural:
Aqui, $ z = x + 3 $, então:
Passo 8
Agora que temos a expressão da derivada:
Podemos calcular $ f’(-1) $:
Resposta
O domínio de $ f(x) $ é $ x \in (-4, -2) $ e $ f’(-1) = \ln(3) $.