Determine o domínio de f(x) e calcule f^prime(-1) ( 20 pontos)
f(x)=sumn=2^+infty (-1)^n(x+3)^nn(n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função $ f(x) $ e calcular a derivada $ f’(-1) $. A função está definida por uma série infinita, então vamos precisar entender onde essa série converge para achar o domínio e depois usar as regras de derivação de séries para encontrar $ f’(-1) $.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função $ f(x) $. O domínio é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a série converge.

Passo 3

A função é dada por:
f(x) = sumn=2^+infty (-1)^n(x+3)^nn(n-1)
Essa é uma série de potências, que tem a forma geral:
sumn=0^+infty cn (x - a)^n
Para encontrar o intervalo de convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identifique $ c_n = \frac{(-1)^n}{n(n-1)} $ e a base da potência é $ (x + 3) $. Aplicando o teste:
cn = (-1)^nn(n-1)
Simplificando:
(x + 3)
Como $ \frac{n-1}{n+1} $ tende a 1 quando $ n $ vai para o infinito:
limn to +infty | cn+1 (x+3)^n+1cn (x+3)^n | = limn to +infty | (-1)^n+1 (x+3)^n+1(n+1)n cdot n(n-1)(-1)^n (x+3)^n |
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
= limn to +infty | -(x+3)n+1 cdot n-11 | = limn to +infty | -(x+3)(n-1)n+1 |

Passo 5

Resolvendo a desigualdade $ |x + 3| < 1 $:
|x + 3| < 1
Subtraindo 3 de todas as partes:
-1 < x + 3 < 1
Então, o domínio da função $ f(x) $ é:
-4 < x < -2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada $ f’(x) $ e, em seguida, avaliar em $ x = -1 $. Primeiro, derivamos a série termo a termo. A derivada de $ f(x) $ é:
f'(x)
Derivando cada termo:
x = -1

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
f'(x) = sumn=2^+infty (-1)^n (x+3)^n-1n-1
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos trocar o índice de soma, deixando $ m = n - 1 $. Então, quando $ n = 2 $, $ m = 1 $, e a série fica:
m = n - 1
Isso nos lembra a série do logaritmo natural:
n = 2
Aqui, $ z = x + 3 $, então:
m = 1

Passo 8

Agora que temos a expressão da derivada:
f'(x) = ln(x + 4)
Podemos calcular $ f’(-1) $:
f'(-1)

Resposta

O domínio de $ f(x) $ é $ x \in (-4, -2) $ e $ f’(-1) = \ln(3) $.

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