Determine o intervalo de convergência das séries abaixo. (20 pontos)
sumn=1^+infty (x-2)^n(n+1) 2^n=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série
sumn=1^+infty (x-2)^n(n+1) cdot 2^n
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de $ x $ essa série dá um resultado que não é infinito, ou seja, que ela “converge”. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nossa série. Ela está na forma geral:
sumn=1^+infty an,
onde
an = (x-2)^n(n+1) cdot 2^n
O Teste da Razão nos diz que se o limite
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1, a série converge. Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos encontrar $ a_{n+1} $:
an+1
Agora, vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando:
an+1 = (x-2)^n+1(n+2) cdot 2^n+1

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por $ n $:
L = limn to infty | (x-2) cdot (n+1)(n+2) cdot 2 |
Quando $ n $ vai para infinito, $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{2}{n} $ tendem a 0. Então:
n

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
| x-22 | < 1
Multiplicando todos os termos por 2:
-1 < x-22 < 1
Agora, somando 2 em todos os lados:
-2 < x - 2 < 2

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ 0 < x < 4 $.

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