Determine o intervalo de convergência das séries abaixo. (20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de $ x $ essa série dá um resultado que não é infinito, ou seja, que ela “converge”. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a verificar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nossa série. Ela está na forma geral:
onde
O Teste da Razão nos diz que se o limite
for menor que 1, a série converge. Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Vamos encontrar $ a_{n+1} $:
Agora, vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por $ n $:
Quando $ n $ vai para infinito, $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{2}{n} $ tendem a 0. Então:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando todos os termos por 2:
Agora, somando 2 em todos os lados:
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ 0 < x < 4 $.