Seja
definida por
Calcule:
Passo 1
Resumo do Exercício:
Temos a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
Temos a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
Queremos calcular $ f\left(\frac{3}{3 - \sqrt{2}}\right) $.
Para resolver isso, vamos precisar saber se o número $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $ é racional (ou seja, pode ser expresso como uma fração de inteiros) ou irracional (não pode ser expresso dessa forma). Dependendo disso, usaremos a definição de $ f(x) $.
Passo 2
Simplificando a Expressão:
Primeiro, vamos simplificar $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $. Para facilitar, vamos racionalizar o denominador, ou seja, eliminar a raiz do denominador.
Primeiro, vamos simplificar $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $. Para facilitar, vamos racionalizar o denominador, ou seja, eliminar a raiz do denominador.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $ 3 + \sqrt{2} $:
Calculando o denominador usando a diferença de quadrados:
Então:
Passo 3
Determinação da Natureza do Número:
Agora, vamos verificar se $ \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7} $ é racional ou irracional.
Agora, vamos verificar se $ \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7} $ é racional ou irracional.
Sabemos que $ \sqrt{2} $ é um número irracional. Quando adicionamos um número irracional a um número racional (como 9), o resultado continua sendo irracional. Multiplicar por um número racional (como 3) e dividir por outro número racional (como 7) não muda essa característica.
Portanto, $ \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7} $ é um número irracional.
Passo 4
Aplicando a Definição da Função $ f(x) $:
Como $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $ é irracional, usamos a segunda parte da definição de $ f(x) $:
Como $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $ é irracional, usamos a segunda parte da definição de $ f(x) $:
Substituindo pela expressão simplificada: