Seja f: R R definida por
f(x)=c 1, se x in Q x+1, se x notin Q
Calcule:
f(33-raiz2)

Passo 1

Resumo do Exercício:
Temos a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
f: R R
Queremos calcular $ f\left(\frac{3}{3 - \sqrt{2}}\right) $.
Para resolver isso, vamos precisar saber se o número $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $ é racional (ou seja, pode ser expresso como uma fração de inteiros) ou irracional (não pode ser expresso dessa forma). Dependendo disso, usaremos a definição de $ f(x) $.

Passo 2

Simplificando a Expressão:
Primeiro, vamos simplificar $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $. Para facilitar, vamos racionalizar o denominador, ou seja, eliminar a raiz do denominador.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é $ 3 + \sqrt{2} $:
33 - raiz2
Calculando o denominador usando a diferença de quadrados:
3 + raiz2
Então:
33 - raiz2 times 3 + raiz23 + raiz2 = 3(3 + raiz2)(3)^2 - (raiz2)^2

Passo 3

Determinação da Natureza do Número:
Agora, vamos verificar se $ \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7} $ é racional ou irracional.
Sabemos que $ \sqrt{2} $ é um número irracional. Quando adicionamos um número irracional a um número racional (como 9), o resultado continua sendo irracional. Multiplicar por um número racional (como 3) e dividir por outro número racional (como 7) não muda essa característica.
Portanto, $ \frac{9 + 3\sqrt{2}}{7} $ é um número irracional.

Passo 4

Aplicando a Definição da Função $ f(x) $:
Como $ \frac{3}{3 - \sqrt{2}} $ é irracional, usamos a segunda parte da definição de $ f(x) $:
f(x)
Substituindo pela expressão simplificada:
33 - raiz2

Resposta

f(33 - raiz2) = 16 + 3raiz27

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