Determine o domínio de f(x) quando
f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x^{2}+3x+2} e pede o domínio de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada real, isto é, o símbolo \sqrt{\cdot} indica raiz principal real.
  • O que está dentro da raiz é o polinômio quadrático x^{2}+3x+2.
O que o problema pede:
  • Determinar todos os valores reais de x para os quais f(x) está definida (ou seja, o domínio de f).

Passo 2

Conceito importante (por que isso importa): para uma função definida por raiz quadrada real, o radicando (o que está dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero. Em outras palavras, a condição para f(x) ser real é
x^{2}+3x+2 \ge 0.
Vou resolver essa desigualdade quadrática para encontrar todos os x que satisfazem essa condição.

Passo 3

Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio x^{2}+3x+2. Procura-se dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e soma seja 3 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 2. Portanto
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade usando a fatoração:
(x+1)(x+2) \ge 0.
Agora identifico os zeros do produto; eles são as raízes da equação associada:
x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x+2=0 \Rightarrow x=-2.
Esses pontos particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,-1) e (-1,\infty). A estratégia é determinar o sinal do produto em cada intervalo.

Passo 5

Explicando o método do quadro de sinais (muito usado em prova): como cada fator (x+1) e (x+2) muda de sinal apenas ao passar por sua raiz, basta testar um ponto em cada intervalo.
  • Para x<-2 (intervalo (-\infty,-2)), escolho x=-3. Então x+1=-2 (negativo) e x+2=-1 (negativo). Produto de dois negativos é positivo, logo (x+1)(x+2)>0 nesse intervalo.
  • Para -2<x<-1 (intervalo (-2,-1)), escolho x=-1{,}5. Então x+2=0{,}5 (positivo) e x+1=-0{,}5 (negativo). Produto de sinais opostos é negativo, logo (x+1)(x+2)<0 nesse intervalo.
  • Para x>-1 (intervalo (-1,\infty)), escolho x=0. Então x+1=1 (positivo) e x+2=2 (positivo). Produto positivo, logo (x+1)(x+2)>0 nesse intervalo.
Também verifico os pontos onde o produto é zero: em x=-2 e x=-1 o radicando vale zero, e isso é permitido porque \sqrt{0}=0 é definido.

Passo 6

Interpretando os resultados da análise de sinais: a desigualdade (x+1)(x+2)\ge 0 é satisfeita quando o produto é positivo ou zero, isto é, nos intervalos onde encontramos sinal positivo e incluindo as raízes. Portanto os x que servem são
(-\infty,-2]\cup[-1,\infty).
Breve reforço didático: geometricamente, a parábola y=x^{2}+3x+2 tem coeficiente de x^{2} positivo, então abre para cima; isso implica que a parábola está acima do eixo x fora das raízes e abaixo entre as raízes — é o mesmo resultado que o quadro de sinais mostrou.

Resposta

(-\infty,-2]\cup[-1,\infty)

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