Determine o domínio de
quando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada real, isto é, o símbolo
indica raiz principal real. - O que está dentro da raiz é o polinômio quadrático
.
O que o problema pede:
- Determinar todos os valores reais de
para os quais está definida (ou seja, o domínio de ).
Passo 2
Conceito importante (por que isso importa): para uma função definida por raiz quadrada real, o radicando (o que está dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero. Em outras palavras, a condição para
ser real é
Vou resolver essa desigualdade quadrática para encontrar todos os
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio
. Procura-se dois números cujo produto seja
(termo constante) e soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Portanto
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade usando a fatoração:
Agora identifico os zeros do produto; eles são as raízes da equação associada:
Esses pontos particionam a reta real em três intervalos:
,
e
. A estratégia é determinar o sinal do produto em cada intervalo.
Passo 5
Explicando o método do quadro de sinais (muito usado em prova): como cada fator
e
muda de sinal apenas ao passar por sua raiz, basta testar um ponto em cada intervalo.
-
Para
(intervalo ), escolho . Então (negativo) e (negativo). Produto de dois negativos é positivo, logo nesse intervalo. -
Para
(intervalo ), escolho . Então (positivo) e (negativo). Produto de sinais opostos é negativo, logo nesse intervalo. -
Para
(intervalo ), escolho . Então (positivo) e (positivo). Produto positivo, logo nesse intervalo.
Também verifico os pontos onde o produto é zero: em
e
o radicando vale zero, e isso é permitido porque
é definido.
Passo 6
Interpretando os resultados da análise de sinais: a desigualdade
é satisfeita quando o produto é positivo ou zero, isto é, nos intervalos onde encontramos sinal positivo e incluindo as raízes. Portanto os
que servem são
Breve reforço didático: geometricamente, a parábola
tem coeficiente de
positivo, então abre para cima; isso implica que a parábola está acima do eixo
fora das raízes e abaixo entre as raízes — é o mesmo resultado que o quadro de sinais mostrou.