Determine o domínio de
quando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A expressão dentro do log é
. - O objetivo é encontrar todos os
para os quais está definida.
Passo 2
Lembrete básico e motivo do que vamos fazer: a função logarítmica natural
está definida somente para argumentos positivos, ou seja precisamos de
Portanto o problema reduz-se a resolver a desigualdade quadrática acima.
Passo 3
Vamos achar as raízes do polinômio quadrático
usando a fórmula quadrática. Para um polinômio
as raízes são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
temos duas raízes reais:
Passo 4
Interpretação geométrica/algebraica do sinal do quadrático: como
, a parábola da função
abre para cima. Isso significa que
fora do intervalo entre as duas raízes e
entre elas. Em outras palavras,
para
Para verificar numericamente (controle rápido): as raízes valem aproximadamente
e
. Escolhendo um ponto entre as raízes, por exemplo
, obtém-se
(logo negativo no interior). Escolhendo
dá
(positivo à direita). Escolhendo
dá
(positivo à esquerda). Tudo consistente com a análise.
Passo 5
Concluindo: a condição
(necessária e suficiente para que
esteja definido) dá o domínio da função como a união dos intervalos em que o quadrático é positivo. Lembrar que não se inclui as raízes porque em
o argumento do log vale zero e
não está definido.