Determine o domínio de f(x) quando
f(x)=\ln \left(x^{2}+4 x-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\left(x^{2}+4x-1\right) e pede o domínio de f.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão dentro do log é x^{2}+4x-1.
  • O objetivo é encontrar todos os x para os quais f(x) está definida.

Passo 2

Lembrete básico e motivo do que vamos fazer: a função logarítmica natural \ln(t) está definida somente para argumentos positivos, ou seja precisamos de
x^{2}+4x-1>0.
Portanto o problema reduz-se a resolver a desigualdade quadrática acima.

Passo 3

Vamos achar as raízes do polinômio quadrático x^{2}+4x-1 usando a fórmula quadrática. Para um polinômio ax^{2}+bx+c as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=4, c=-1. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=16+4=20.
Como \Delta>0 temos duas raízes reais:
x=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}.

Passo 4

Interpretação geométrica/algebraica do sinal do quadrático: como a=1>0, a parábola da função g(x)=x^{2}+4x-1 abre para cima. Isso significa que g(x)>0 fora do intervalo entre as duas raízes e g(x)<0 entre elas. Em outras palavras, g(x)>0 para
x< -2-\sqrt{5}\quad\text{ou}\quad x> -2+\sqrt{5}.
Para verificar numericamente (controle rápido): as raízes valem aproximadamente -2-\sqrt{5}\approx -4,236\ldots e -2+\sqrt{5}\approx 0,236\ldots. Escolhendo um ponto entre as raízes, por exemplo x=0, obtém-se g(0)=-1<0 (logo negativo no interior). Escolhendo x=1 g(1)=1+4-1=4>0 (positivo à direita). Escolhendo x=-5 g(-5)=25-20-1=4>0 (positivo à esquerda). Tudo consistente com a análise.

Passo 5

Concluindo: a condição x^{2}+4x-1>0 (necessária e suficiente para que \ln(\cdot) esteja definido) dá o domínio da função como a união dos intervalos em que o quadrático é positivo. Lembrar que não se inclui as raízes porque em x=-2\pm\sqrt{5} o argumento do log vale zero e \ln(0) não está definido.

Resposta

\displaystyle (-\infty,\,-2-\sqrt{5})\cup(-2+\sqrt{5},\,+\infty)

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