Sabendo que
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}, \quad \csc x=\frac{1}{\operatorname{sen} x}, \quad \cot x=\frac{1}{\tan x}
determine o domínio dessas três funções.

Passo 1

O enunciado dá as definições
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},\qquad \csc x=\frac{1}{\operatorname{sen} x},\qquad \cot x=\frac{1}{\tan x},
e pede o domínio de cada função (ou seja, os valores de x para os quais a função está bem definida). Informação importante para lembrar agora: uma fração \dfrac{1}{f(x)} está bem definida exatamente quando f(x) existe e é diferente de zero. Vou listar então as informações úteis que vamos usar:
  • Para \operatorname{sec} x é preciso que \cos x exista (existe para todo x) e que \cos x\neq0.
  • Para \csc x é preciso que \operatorname{sen} x exista (existe para todo x) e que \operatorname{sen} x\neq0.
  • Para \cot x (como foi dada) é preciso que \tan x exista e que \tan x\neq0. Vou usar também as equações dos zeros de \operatorname{sen} e \cos que são padrão: \operatorname{sen} x=0 \iff x=k\pi,\qquad \cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi,com k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Domínio de \operatorname{sec} x.
Começo da definição: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Para essa fração existir é necessário e suficiente que \cos x\neq0.
Quando \cos x=0? Pelas fórmulas trigonométricas,
\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo o domínio de \operatorname{sec} x é o conjunto de todos os reais exceto esses pontos; em notação:
\text{Dom}(\operatorname{sec})=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
(Isto significa, por exemplo, \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{2}) não existe porque \cos(\tfrac{\pi}{2})=0.)

Passo 3

Domínio de \csc x.
Definição: \csc x=\dfrac{1}{\operatorname{sen}x}. Para existir precisamos de \operatorname{sen}x\neq0.
Quando \operatorname{sen}x=0? Sabemos que
\operatorname{sen}x=0 \iff x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto
\text{Dom}(\csc)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
(Ex.: \csc 0 não existe pois \operatorname{sen}0=0.)

Passo 4

Domínio de \cot x a partir da definição dada.
O enunciado define \cot x=\dfrac{1}{\tan x}. Para essa expressão existir é necessário que:
  1. \tan x exista (ou seja, \cos x\neq0, já que \tan x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} só está definida quando \cos x\neq0); e
  2. \tan x\neq0.
A condição \tan x\neq0 equivale a \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\neq0. Como \tan x está sendo exigida existente (logo \cos x\neq0), a desigualdade \tan x\neq0 reduz-se a \operatorname{sen}x\neq0. Resumindo, precisamos de
\cos x\neq0\quad\text{e}\quad\operatorname{sen}x\neq0.
Agora usamos os zeros conhecidos:
\operatorname{sen}x=0 \iff x=k\pi,\qquad \cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi.
Então devemos excluir ambos os conjuntos de pontos. A união desses pontos é exatamente todos os múltiplos de \tfrac{\pi}{2}, ou seja x=\tfrac{\pi}{2}k com k\in\mathbb{Z} (porque para k par obtém-se k\pi e para k ímpar obtém-se \tfrac{\pi}{2}+m\pi). Portanto, seguindo a definição dada,
\text{Dom}(\cot)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}k,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Observação didática (importante): se, em outro contexto, alguém usa a identidade \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen}x} como definição, então a única condição exigida seria \operatorname{sen}x\neq0, dando \text{Dom}(\cot)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq k\pi\}. Aqui segui estritamente a definição fornecida no enunciado ( \cot x=1/\tan x), que exige tanto \cos x\neq0 quanto \operatorname{sen}x\neq0.

Passo 5

Resumo final dos domínios (já explicados e justificados acima).

Resposta

\text{Dom}(\operatorname{sec})=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}
\text{Dom}(\csc)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}
\text{Dom}(\cot)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}k,\\ k\in\mathbb{Z}\}

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