Sabendo que
determine o domínio dessas três funções.
Passo 1
O enunciado dá as definições
e pede o domínio de cada função (ou seja, os valores de
para os quais a função está bem definida). Informação importante para lembrar agora: uma fração
está bem definida exatamente quando
existe e é diferente de zero. Vou listar então as informações úteis que vamos usar:
- Para
é preciso que exista (existe para todo ) e que . - Para
é preciso que exista (existe para todo ) e que . - Para
(como foi dada) é preciso que exista e que . Vou usar também as equações dos zeros de e que são padrão: com .
Passo 2
Domínio de
.
Começo da definição:
. Para essa fração existir é necessário e suficiente que
.
Quando
? Pelas fórmulas trigonométricas,
Logo o domínio de
é o conjunto de todos os reais exceto esses pontos; em notação:
(Isto significa, por exemplo,
não existe porque
.)
Passo 3
Domínio de
.
Definição:
. Para existir precisamos de
.
Quando
? Sabemos que
Portanto
(Ex.:
não existe pois
.)
Passo 4
Domínio de
a partir da definição dada.
O enunciado define
. Para essa expressão existir é necessário que:
-
exista (ou seja, , já que só está definida quando ); e -
.
A condição
equivale a
. Como
está sendo exigida existente (logo
), a desigualdade
reduz-se a
. Resumindo, precisamos de
Agora usamos os zeros conhecidos:
Então devemos excluir ambos os conjuntos de pontos. A união desses pontos é exatamente todos os múltiplos de
, ou seja
com
(porque para
par obtém-se
e para
ímpar obtém-se
). Portanto, seguindo a definição dada,
Observação didática (importante): se, em outro contexto, alguém usa a identidade
como definição, então a única condição exigida seria
, dando
. Aqui segui estritamente a definição fornecida no enunciado (
), que exige tanto
quanto
.
Passo 5
Resumo final dos domínios (já explicados e justificados acima).