Determine o domínio de f(x)=tg(-x3).

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o enunciado: a função é f(x)=\operatorname{tg}\bigl(-\tfrac{x}{3}\bigr). O conteúdo é domínio de função trigonométrica, e vamos precisar lembrar que tg(theta) só está definida quando o denominador cos(theta) não for zero.

Passo 2

A partir daí, identificamos a condição de indefinição da tangente: ela se anula sempre que cos(theta)=0, pois tg(theta)=sin(theta)/cos(theta). No nosso caso, theta=-tfracx3, logo precisamos resolver
cosl(-x3r)=0

Passo 3

Agora, usamos a periodicidade e os zeros do cosseno. Sabemos que
cos(phi)=0Long<=ftrightarrow phi=pi2+kpi,
com kinZ. Substituindo phi=-tfracx3, temos
-x3=pi2+kpi
e multiplicando por -1 e depois por 3, obtemos
x3=-l(pi2+kpir) Longrightarrow x=-3l(pi2+kpir)= -3pi2-3kpi
Como k percorre todos os inteiros, podemos reescrever esses pontos proibidos de forma equivalente como
x=3pi2+3mpi, minZ, onde trocamos m=-k-1 para deixar a fórmula mais comum. Por fim, o domínio é todos os reais, exceto esses valores.

Passo 4

O domínio de f é, portanto:
Rsetminusltfrac3pi2+3kpi:,kinZr

Resposta

Rsetminustfrac3pi2+3kpi:,kinZ

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