Resolva a equação 10^log a(x^2-3 x+2)=6^log a 10, em que $a=10 . $

Passo 1

Estamos resolvendo a equação 10^loga(x^2-3x+2)=6^loga10 com a=10. O conteúdo aqui envolve propriedades de logaritmo e exponenciação, e precisaremos garantir o domínio do logaritmando.

Passo 2

Substituindo a=10 na equação, obtemos:
10^log10(x^2-3x+2) = 6^log1010
Como log1010=1, o lado direito fica 6^1=6.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de inversão entre exponenciação e logaritmo:
10^log10(y) = y,
então o lado esquerdo simplifica para x^2-3x+2. A equação vira:
x^2-3x+2 = 6

Passo 4

Reorganizando, temos a equação quadrática
x^2-3x-4=0
O discriminante é De, e as raízes são
x = 3pm52,
isto é, x=4 ou x=-1.

Passo 5

Agora garantimos o domínio do logaritmo:
x^2-3x+2>0 Long<=ftrightarrow (x-1)(x-2)>0 Long<=ftrightarrow x<1 ou x>2
Tanto x=-1 (pois -1<1) quanto x=4 (pois 4>2) satisfazem o domínio e a equação original.

Resposta

x=-1 e x=4

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