Determine o domínio de f(x) quando
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+4 x-5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+4x-5}
e pede para determinar o domínio de f.
Informações relevantes: a função é uma razão de polinômios (função racional) com numerador x^{2}-x+1 e denominador x^{2}+4x-5. A pergunta que preciso responder é: para quais valores reais de x essa expressão está bem definida?

Passo 2

Regra básica (fundamento): para uma função racional, o domínio são todos os números reais exceto aqueles que anulam o denominador, porque divisão por zero não é definida. Em símbolos:
\text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid \text{o denominador } \neq 0\}.
Portanto devo encontrar as soluções da equação
x^{2}+4x-5=0,
e excluir esses valores do domínio.

Passo 3

Resolver x^{2}+4x-5=0 por fatoração. Procuro dois números cujo produto seja -5 e soma seja 4. Esses números são 5 e -1. Assim:
x^{2}+4x-5=(x+5)(x-1).
Logo as raízes são as soluções de (x+5)(x-1)=0, ou seja
x=-5 \quad\text{e}\quad x=1.
Esses são os pontos onde o denominador fica zero e, portanto, valores que devem ser excluídos do domínio — a menos que haja cancelamento com o numerador (ver próximo passo).

Passo 4

Verificar se algum desses zeros do denominador também anula o numerador (o que poderia cancelar um fator e tornar a descontinuidade removível). O numerador é x^{2}-x+1. Calculo o discriminante para ver se tem raízes reais:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, o polinômio x^{2}-x+1 não tem raízes reais — ou seja, nunca é zero para x\in\mathbb{R}. Em particular, nem x=-5 nem x=1 anulam o numerador. Portanto não há cancelamento de fatores; os pontos x=-5 e x=1 são realmente pontos proibidos (singularidades da função).
Observação didática rápida: se o numerador fosse também zero em um desses pontos, poderíamos ter um buraco removível (por exemplo, \tfrac{x^{2}-1}{x-1} pode ser simplificada para x+1, mas originalmente não está definida em x=1). Aqui isso não acontece.

Passo 5

Concluindo: o único impedimento ao domínio são os valores que anulam o denominador, que são x=-5 e x=1, e não são compensados pelo numerador. Portanto o domínio é o conjunto dos reais excluindo esses dois pontos. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-5,1\} = (-\infty,-5)\cup(-5,1)\cup(1,\infty).

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-5,1\}=(-\infty,-5)\cup(-5,1)\cup(1,\infty)

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