Determine o domínio de
quando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio de
.
Informações relevantes: a função é uma razão de polinômios (função racional) com numerador e denominador
. A pergunta que preciso responder é: para quais valores reais de
essa expressão está bem definida?
Informações relevantes: a função é uma razão de polinômios (função racional) com numerador
Passo 2
Regra básica (fundamento): para uma função racional, o domínio são todos os números reais exceto aqueles que anulam o denominador, porque divisão por zero não é definida. Em símbolos:
Portanto devo encontrar as soluções da equação
e excluir esses valores do domínio.
Passo 3
Resolver
por fatoração. Procuro dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Assim:
Logo as raízes são as soluções de
, ou seja
Esses são os pontos onde o denominador fica zero e, portanto, valores que devem ser excluídos do domínio — a menos que haja cancelamento com o numerador (ver próximo passo).
Passo 4
Verificar se algum desses zeros do denominador também anula o numerador (o que poderia cancelar um fator e tornar a descontinuidade removível). O numerador é
. Calculo o discriminante para ver se tem raízes reais:
Como
, o polinômio
não tem raízes reais — ou seja, nunca é zero para
. Em particular, nem
nem
anulam o numerador. Portanto não há cancelamento de fatores; os pontos
e
são realmente pontos proibidos (singularidades da função).
Observação didática rápida: se o numerador fosse também zero em um desses pontos, poderíamos ter um buraco removível (por exemplo,
pode ser simplificada para
, mas originalmente não está definida em
). Aqui isso não acontece.
Passo 5
Concluindo: o único impedimento ao domínio são os valores que anulam o denominador, que são
e
, e não são compensados pelo numerador. Portanto o domínio é o conjunto dos reais excluindo esses dois pontos. Em notação: