Um projétil é lançado verticalmente com velocidade inicial de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir do solo. Sua altura h(t), em metros, no instante t segundos, é dada por:
h(t)=-5 t^{2}+20 t
(a) Qual o tempo máximo que o projétil atinge altura positiva?
(b) Qual a altura máxima alcançada?

Passo 1

O enunciado dá a altura do projétil em função do tempo:
h(t) = -5 t^{2} + 20 t,
onde h(t) está em metros e t em segundos. O enunciado pede duas coisas:
  • (a) qual o tempo máximo em que o projétil tem altura positiva (ou seja, até que instante h(t)>0);
  • (b) qual a altura máxima alcançada pelo projétil.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio quadrático em t com coeficiente quadrático -5.
  • Os coeficientes são: a=-5, b=20, c=0 (na forma geral h(t)=a t^{2}+b t+c).

Passo 2

Para saber quando a altura é positiva é útil primeiro achar os instantes em que a altura é zero (raízes da função). Isso porque, para uma parábola com concavidade voltada para baixo ( a<0), a função será positiva entre as raízes reais. Então resolvemos:
-5 t^{2} + 20 t = 0.
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada. Vou explicar a fatoração passo a passo: coloque fator comum -5t:
-5 t^{2} + 20 t = -5 t (t - 4).
Assim as soluções da equação -5 t (t-4)=0 são os t que anulam um dos fatores:
t=0 \quad\text{ou}\quad t=4.

Passo 3

Interpretação das raízes: t=0 é o instante do lançamento (altura zero no solo) e t=4 é o instante em que o projétil volta ao solo. Como a parábola tem coeficiente a=-5<0, ela abre para baixo, portanto a altura h(t) é positiva entre as raízes. Logo:
h(t)>0 \quad\text{para}\quad 0<t<4.
Portanto o projétil permanece em altura positiva até t=4\\ \text{s}. Esse é o tempo máximo em que a altura é positiva.

Passo 4

Agora vamos achar a altura máxima atingida. Para uma parábola dada por h(t)=a t^{2}+b t+c com a<0, o máximo ocorre no vértice, cujo instante é dado pela fórmula do vértice:
t_{\text{v}} = -\dfrac{b}{2a}.
Expliquei: aqui a é o coeficiente de t^{2} e b é o coeficiente de t. Substituindo a=-5 e b=20:
t_{\text{v}} = -\dfrac{20}{2\cdot(-5)} = -\dfrac{20}{-10} = 2.
Portanto a altura máxima ocorre em t=2\\ \text{s}.

Passo 5

Calculemos a altura naquele instante substituindo t=2 na expressão de h(t). Mostrando as contas passo a passo:
h(2) = -5\cdot 2^{2} + 20\cdot 2.
Calcule os termos:
2^{2}=4,\quad -5\cdot 4 = -20,\quad 20\cdot 2 = 40.
Somando:
h(2) = -20 + 40 = 20.
Logo a altura máxima é 20\\ \text{m}.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil para a prova): completar o quadrado mostra diretamente o vértice. Reescrevendo:
h(t) = -5\bigl(t^{2}-4t\bigr).
Dentro do parêntese complete o quadrado:
t^{2}-4t = (t-2)^{2} - 4,
logo
h(t) = -5\bigl((t-2)^{2}-4\bigr) = -5(t-2)^{2} +20.
Dessa forma fica claro que o máximo é 20 (quando (t-2)^{2}=0, ou seja em t=2), concordando com os cálculos anteriores.

Resposta

(a) 4\\ \text{s}
(b) 20\\ \text{m}

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