Um projétil é lançado verticalmente com velocidade inicial de
a partir do solo. Sua altura
, em metros, no instante
segundos, é dada por:
(a) Qual o tempo máximo que o projétil atinge altura positiva?
(b) Qual a altura máxima alcançada?
(b) Qual a altura máxima alcançada?
Passo 1
O enunciado dá a altura do projétil em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. O enunciado pede duas coisas:
- (a) qual o tempo máximo em que o projétil tem altura positiva (ou seja, até que instante
); - (b) qual a altura máxima alcançada pelo projétil.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio quadrático em
com coeficiente quadrático . - Os coeficientes são:
, , (na forma geral ).
Passo 2
Para saber quando a altura é positiva é útil primeiro achar os instantes em que a altura é zero (raízes da função). Isso porque, para uma parábola com concavidade voltada para baixo (
), a função será positiva entre as raízes reais. Então resolvemos:
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada. Vou explicar a fatoração passo a passo: coloque fator comum
:
Assim as soluções da equação
são os
que anulam um dos fatores:
Passo 3
Interpretação das raízes:
é o instante do lançamento (altura zero no solo) e
é o instante em que o projétil volta ao solo. Como a parábola tem coeficiente
, ela abre para baixo, portanto a altura
é positiva entre as raízes. Logo:
Portanto o projétil permanece em altura positiva até
. Esse é o tempo máximo em que a altura é positiva.
Passo 4
Agora vamos achar a altura máxima atingida. Para uma parábola dada por
com
, o máximo ocorre no vértice, cujo instante é dado pela fórmula do vértice:
Expliquei: aqui
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
. Substituindo
e
:
Portanto a altura máxima ocorre em
.
Passo 5
Calculemos a altura naquele instante substituindo
na expressão de
. Mostrando as contas passo a passo:
Calcule os termos:
Somando:
Logo a altura máxima é
.
Passo 6
Como verificação alternativa (útil para a prova): completar o quadrado mostra diretamente o vértice. Reescrevendo:
Dentro do parêntese complete o quadrado:
logo
Dessa forma fica claro que o máximo é
(quando
, ou seja em
), concordando com os cálculos anteriores.
Resposta
(a)
(b)
(b)