Uma função do segundo grau tem vértice no ponto V(3,-4) e passa por (1,0). Determine sua lei de formação.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • O vértice da parábola é V(3,-4). Ou seja, o vértice tem coordenadas h=3 e k=-4.
  • A parábola passa pelo ponto (1,0). Ou seja, quando x=1 temos f(1)=0.
O que se pede: determinar a lei de formação da função quadrática (a expressão de f(x)) que satisfaz essas duas condições.

Passo 2

Lembrete importante — forma vértice da parábola:
f(x)=a(x-h)^{2}+k.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • h e k são as coordenadas do vértice V(h,k).
  • a é um número real que determina a “abertura” da parábola:
    • Se a>0, a parábola abre para cima; se a<0, abre para baixo.
    • |a| grande deixa a parábola mais “estreita”; |a| pequeno deixa mais “larga”.
Aqui já sabemos h=3 e k=-4, então a forma vértice da nossa função é
f(x)=a(x-3)^{2}-4,
com a ainda desconhecido. O próximo passo é usar o ponto (1,0) para achar a.

Passo 3

Substituir o ponto (1,0) na expressão \,f(x)=a(x-3)^{2}-4\,:
f(1)=0 = a(1-3)^{2}-4.

Passo 4

Calcular (1-3)^{2} e resolver para a:
(1-3)^{2}=(-2)^{2}=4,
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0 = a\cdot 4 -4.
Isolando a:
4a -4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 1.

Passo 5

Agora que a=1, a função na forma vértice é
f(x) = 1\cdot (x-3)^{2} -4.
Para obter a forma polinomial padrão, expandir (x-3)^{2}:
(x-3)^{2} = x^{2} -6x +9.
Substituindo:
f(x) = x^{2} -6x +9 -4 = x^{2} -6x +5.

Resposta

f(x) = (x-3)^{2} -4
f(x) = x^{2} -6x +5

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