Determine o domínio da função abaixo. Esboce a região encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 4} $ e esboçar a região encontrada. Isso envolve conhecimentos de funções de várias variáveis e condições de existência de funções matemáticas, como as raízes quadradas. Vamos precisar entender quais valores de $ x $ e $ y $ tornam a função válida, ou seja, onde os radicais não ficam com números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para garantir que os radicais estão definidos, ou seja, que os argumentos das raízes quadradas são maiores ou iguais a zero.
Para a primeira raiz:
Isso garante que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa.
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Então, $ x $ deve estar entre -3 e 3.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda raiz:
Mais uma vez, garantimos que o argumento da raiz quadrada seja não negativo.
Passo 5
Resolvendo essa desigualdade:
Então, $ x $ deve ser menor ou igual a -2 ou maior ou igual a 2.
Passo 6
Agora, precisamos combinar as duas condições que encontramos para $ x $:
Isso significa que $ x $ deve estar entre -3 e -2 ou entre 2 e 3.
Passo 7
Perceba que a variável $ y $ não aparece na função $ f(x, y)
y $ pode ser qualquer número real**, ou seja, não há restrições para $ y $.
Passo 8
Então, juntando tudo, o domínio da função é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ onde:
Isso representa duas faixas verticais no plano $ xy $, uma de $ x = -3 $ a $ x = -2 $ e outra de $ x = 2 $ a $ x = 3 $, estendendo-se indefinidamente na direção de $ y $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 4} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que:
Isso pode ser representado graficamente como duas faixas verticais no plano $ xy $, entre $ x = -3 $ e $ x = -2 $, e entre $ x = 2 $ e $ x = 3 $, estendendo-se para cima e para baixo indefinidamente no eixo $ y $.