Determine o domínio da função abaixo. Esboce a região encontrada.
f(x, y)=raiz9-x^2+raizx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 4} $ e esboçar a região encontrada. Isso envolve conhecimentos de funções de várias variáveis e condições de existência de funções matemáticas, como as raízes quadradas. Vamos precisar entender quais valores de $ x $ e $ y $ tornam a função válida, ou seja, onde os radicais não ficam com números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para garantir que os radicais estão definidos, ou seja, que os argumentos das raízes quadradas são maiores ou iguais a zero.
Para a primeira raiz:
9 - x^2 >= 0
Isso garante que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
9 - x^2 >= 0 x^2 <= 9 -3 <= x <= 3
Então, $ x $ deve estar entre -3 e 3.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda raiz:
x^2 - 4 >= 0
Mais uma vez, garantimos que o argumento da raiz quadrada seja não negativo.

Passo 5

Resolvendo essa desigualdade:
x^2 - 4 >= 0 x^2 >= 4 x <= -2 ou x >= 2
Então, $ x $ deve ser menor ou igual a -2 ou maior ou igual a 2.

Passo 6

Agora, precisamos combinar as duas condições que encontramos para $ x $:
x
Isso significa que $ x $ deve estar entre -3 e -2 ou entre 2 e 3.

Passo 7

Perceba que a variável $ y $ não aparece na função $ f(x, y) y y $ pode ser qualquer número real**, ou seja, não há restrições para $ y $.

Passo 8

Então, juntando tudo, o domínio da função é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ onde:
(x, y)
Isso representa duas faixas verticais no plano $ xy $, uma de $ x = -3 $ a $ x = -2 $ e outra de $ x = 2 $ a $ x = 3 $, estendendo-se indefinidamente na direção de $ y $.

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 4} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ tais que:
f(x, y) = raiz9 - x^2 + raizx^2 - 4
Isso pode ser representado graficamente como duas faixas verticais no plano $ xy $, entre $ x = -3 $ e $ x = -2 $, e entre $ x = 2 $ e $ x = 3 $, estendendo-se para cima e para baixo indefinidamente no eixo $ y $.

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