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f(x)=1x^2-9
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Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $ e precisamos descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, além de achar os pontos extremos locais. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Para $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $, podemos reescrever como $ f(x) = (x^{2} - 9)^{-1} $ para facilitar a derivação.

Passo 3

Aplicando a regra do poder na derivada, temos:
f'(x) = -1 cdot (x^2 - 9)^-2 cdot 2x = -2x(x^2 - 9)^2
Então, a derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) = -\frac{2x}{(x^{2} - 9)^{2}} $.

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa. Isso nos indica onde a função está crescendo ou diminuindo.
  • Quando $ f’(x) > 0 $: A função está crescendo.
  • Quando $ f’(x) < 0 $: A função está diminuindo.
Vamos resolver $ f’(x) > 0 $ e $ f’(x) < 0 $:
f'(x) > 0

Passo 5

Observando a expressão da derivada:
  • O denominador $ (x^{2} - 9)^{2} $ é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo.
  • O numerador é $ -2x $, então o sinal depende de $ x $.
Portanto:
  • Se $ x > 0 $: $ -2x < 0 $ ⇒ $ f’(x) < 0 $ ⇒ a função está decrescendo.
  • Se $ x < 0 $: $ -2x > 0 $ ⇒ $ f’(x) > 0 $ ⇒ a função está crescendo.

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos onde a derivada é zero ou não existe, pois são candidatos a extremos locais.
f'(x) = 0 Rightarrow -2x = 0 Rightarrow x = 0
Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero:
x^2 - 9 = 0 Rightarrow x = pm 3
Então, temos possíveis extremos em $ x = 0 $ e possíveis pontos de descontinuidade em $ x = \pm 3 $.

Passo 7

Vamos verificar se $ x = 0 $ é realmente um extremo local.
Analisando a derivada em torno de $ x = 0 $:
  • Para $ x < 0 $: $ f’(x) > 0 $ ⇒ Crescendo.
  • Para $ x > 0 $: $ f’(x) < 0 $ ⇒ Decrescendo.
Como a função muda de crescente para decrescente em $ x = 0 $, isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $ está crescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $ e decrescendo no intervalo $ (0, +\infty) $. Além disso, possui um ponto de máximo local em $ x = 0 $.

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