Se
e
são duas soluções para
no intervalo
, encontre o Wronskiano de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o Wronskiano de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial dada. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares e Wronskiano, que ajuda a entender se duas soluções são linearmente independentes. Pra resolver isso, vamos precisar usar a definição de Wronskiano e algumas propriedades das equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $, o Wronskiano é dado por:
Ele nos dá uma medida de independência linear das soluções.
Passo 3
Agora, vamos observar a equação diferencial que temos:
Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Dividindo todos os termos por $ (1 - x^2) $, temos:
Assim, identificamos:
Passo 4
De acordo com a teoria das equações diferenciais lineares, o Wronskiano $ W $ das soluções satisfaz a seguinte equação diferencial:
Substituindo $ P(x) $, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W $.
Passo 5
Vamos resolver essa equação para $ W $. Reescrevendo:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é:
Portanto:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
O Wronskiano de $ y_1 $ e $ y_2 $ é dado por
onde $ C $ é uma constante.