Se y1 e y2 são duas soluções para
(1-x^2) y^prime prime-2 y^prime+n(n+1) y=0
no intervalo (-1,1), encontre o Wronskiano de y1 e y2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o Wronskiano de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial dada. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares e Wronskiano, que ajuda a entender se duas soluções são linearmente independentes. Pra resolver isso, vamos precisar usar a definição de Wronskiano e algumas propriedades das equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $, o Wronskiano é dado por:
y1
Ele nos dá uma medida de independência linear das soluções.

Passo 3

Agora, vamos observar a equação diferencial que temos:
(1 - x^2) y'' - 2 y' + n(n+1) y = 0
Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Dividindo todos os termos por $ (1 - x^2) $, temos:
(1 - x^2)
Assim, identificamos:
y'' - 21 - x^2 y' + n(n+1)1 - x^2 y = 0

Passo 4

De acordo com a teoria das equações diferenciais lineares, o Wronskiano $ W $ das soluções satisfaz a seguinte equação diferencial:
W
Substituindo $ P(x) $, temos:
W' + P(x) W = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W $.

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ W $. Reescrevendo:
W
Podemos separar as variáveis:
W' = 21 - x^2 W
Integrando ambos os lados:
dWW = 21 - x^2 dx
A integral do lado direito é:
ln |W| = integral 21 - x^2 dx + C
Portanto:
integral 21 - x^2 dx = ln | 1 + x1 - x | + C
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
ln |W| = ln | 1 + x1 - x | + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

O Wronskiano de $ y_1 $ e $ y_2 $ é dado por
y1
onde $ C $ é uma constante.

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