1. Determine o domínio da função abaixo e represente-o graficamente:
f(x, y)=sen(raizx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sin\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) $ e também representar esse domínio graficamente. O assunto aqui envolve funções de duas variáveis e conceitos de domínio. Para resolver, vamos precisar entender quando a função está bem definida, ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ a expressão dentro da função faz sentido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar dentro da função seno, que é $ \sin(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) $. A parte interna é $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, que é uma raiz quadrada. Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números que são maiores ou iguais a zero. Então, precisamos garantir que $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar $ x^{2} + y^{2} $. Para qualquer número real $ x $ e $ y $, ao elevar ao quadrado, o resultado sempre será zero ou positivo. Ou seja, $ x^{2} + y^{2} $ nunca vai ser negativo. Isso significa que a expressão dentro da raiz quadrada está sempre satisfazendo a condição de ser maior ou igual a zero.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a função seno, $ \sin(z) $. A função seno está definida para todos os números reais $ z $. Não há restrições sobre os valores que $ z $ pode assumir. No nosso caso, $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, que já vimos que está sempre definido.

Resposta

Portanto, o domínio da função $ f(x, y) = \sin\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right) $ é todo o plano real. Isso significa que qualquer par de números reais $ (x, y) $ pertence ao domínio dessa função. Graficamente, o domínio é representado por todo o plano $ xy $, sem nenhuma restrição.

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