Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
tem uma solução.
,
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar o PVI dado por
aplicando o Teorema de Existência de Picard–Lindelöf. Para isso precisamos verificar onde f (e sua derivada em relação a y) é contínua num retângulo em torno de
.
Passo 2
Análise do domínio de f: como
só faz sentido real se o produto
é não-negativo, o domínio de f é
Passo 3
Critério de existência local: o teorema exige que f seja contínua num bairro aberto de
. A região interior de
é dada por
. Logo, para ter um retângulo inteiro contido em
, precisamos de
Passo 4
Observação sobre a fronteira: se
, o ponto está na fronteira de
e não existe retângulo aberto inteiramente em
ao redor dele; assim não podemos aplicar diretamente o teorema.
Passo 5
Conclusão: portanto a existência (e até unicidade, pois
também é contínua em
) está garantida exatamente quando
e
têm o mesmo sinal não-nulo.
Resposta
Os pontos iniciais são aqueles em que