Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=raizx y,

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar o PVI dado por
y' = f(x,y) = raizx y, y(x0)=y0,
aplicando o Teorema de Existência de Picard–Lindelöf. Para isso precisamos verificar onde f (e sua derivada em relação a y) é contínua num retângulo em torno de (x0,y0).

Passo 2

Análise do domínio de f: como f(x,y)=raizx y só faz sentido real se o produto x y é não-negativo, o domínio de f é
D = (x,y)inR^2:;x y >= 0

Passo 3

Critério de existência local: o teorema exige que f seja contínua num bairro aberto de (x0,y0). A região interior de D é dada por x y>0. Logo, para ter um retângulo inteiro contido em D, precisamos de
x0 y0 > 0

Passo 4

Observação sobre a fronteira: se x0 y0 = 0, o ponto está na fronteira de D e não existe retângulo aberto inteiramente em D ao redor dele; assim não podemos aplicar diretamente o teorema.

Passo 5

Conclusão: portanto a existência (e até unicidade, pois partial f/partial y também é contínua em x y>0) está garantida exatamente quando x0 e y0 têm o mesmo sinal não-nulo.

Resposta

Os pontos iniciais são aqueles em que
x0y0>0, \nou seja, x0>0 e y0>0 ou x0<0 e y0<0.

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