Determine um domínio em que a função f dada é diferenciável: f(z)=Ln(2 z-i)z^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para achar um domínio onde a funçãoComplexa é diferenciável: temos f(z)=Ln(2z−i)/(z²+1). O conteúdo é análise de holomorfia (diferenciabilidade complexa) de funções definidas por composição e quociente de funções elementares.

Passo 2

Para f ser diferenciável precisamos que o numerador Ln(2z−i) seja holomorfo. Na escolha do ramo principal de Ln, ele é analítico em C menos o semi-eixo real negativo e o ponto zero do argumento. Logo devemos excluir os z tais que 2z−i∈(−∞,0], isto é, a reta: z=i/2+t com t≤0.

Passo 3

Também precisamos que o denominador z²+1 não se anule, pois aí surgem polos. As raízes de z²+1=0 são z= i e z=−i, então esses pontos saem do domínio.

Passo 4

Concluindo, f é holomorfa em C exceto no semi-eixo {z=i/2+t, t≤0} (ramo de corte da Ln) e nos pontos z=±i (pontos onde o denominador z²+1=0).

Resposta

zinC:2z-inotin(-infty,0],;zneq i,;zneq -i

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