(a) y^prime prime+3t y=1, y(1)=1, y^prime(1)=2.

Passo 1

Neste problema temos o PVI y'' + tfrac3ty' = 1 com condições y(1)=1 e y'(1)=2. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de t. Para resolver, vamos usar o fator integrante para reduzir a equação a uma derivada total.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integral tfrac3t,dtr)=t^3. Multiplicando a equação por t^3 obtém-se
t^3y''+3t^2y'=t^3,
o que reescreve como a derivada de um produto.

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é
(t^3y')'=t^3
Agora integramos em relação a t:

Passo 4

Integrando, achamos
t^3y'=integral t^3,dt=t^44+C1
e daí
y'=t4+C1t^-3

Passo 5

Integramos mais uma vez:
y=integrall(t4+C1t^-3r)dt=t^28-C12t^2+C2

Passo 6

Usando y'(1)=2, temos
14+C1=2implies C1=74
Com y(1)=1,
18-7/42+C2=1implies -34+C2=1implies C2=74

Resposta

y(t)=\frac{7}{4}-\frac{7}{8t2}+\frac{t2}{8}

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