Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=x e^3 y,

Passo 1

A função dada é
f(x, y) = x e^3y
O conteúdo aqui envolve domínio de funções de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 2

Para achar o domínio de f, observe que não há radical nem divisão por zero: a exponencial e^3y está definida para todo y in R e o fator x não introduz restrição. Logo, o domínio de f é
R^2

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Para x:
partial fpartial x = partialpartial x(x e^3y) = e^3y
Para y:
partial fpartial y = partialpartial y(x e^3y) = x cdot 3e^3y = 3x e^3y

Passo 4

As derivadas parciais obtidas são e^3y e 3x e^3y, ambas definidas para qualquer (x,y) real. Portanto, o domínio de cada derivada parcial também é
R^2

Resposta

Domínio de f: R^2. Domínio de fx: R^2. Domínio de fy: R^2.

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