Resolva a equação diferencial separável:
d yd x=y^2 sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem e separável dydx=y^2sin(x). O conteúdo aqui é separação de variáveis e integração de ambas as partes para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para separar variáveis, colocamos todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro:
dyy^2=sin(x),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado temos integral y^-2,dy e do outro integral sin(x),dx:
integral y^-2,dy=integral sin(x),dx

Passo 4

Sabendo que integral y^-2,dy=-tfrac1y e integral sin(x),dx=-cos(x), obtemos
-1y=-cos(x)+C

Passo 5

Multiplicando tudo por -1 e definindo uma nova constante C'=-C, vem
1y=cos(x)+C'

Passo 6

Invertendo para isolar y, achamos a solução geral:
$$y(x)=\frac{1}{\cos(x)+C

Resposta

y(x)=\frac{1}{\cos(x)+C}

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