Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
y^prime+2 y=0, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI). A equação que precisamos resolver é $ y’ + 2y = 0 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que nos ajudam a entender como funções mudam com base em suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os termos que vão nos ajudar a resolver:
y' + 2y = 0
Aqui, $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, e o coeficiente de $ y $ é 2.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar um método chamado fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função que torna o lado esquerdo uma derivada de um produto. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Onde $ P(x) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, $ P(x) = 2 $, então:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2x y' + 2e^2x y = 0
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $:
e^2x y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx (e^2x y) , dx = integral 0 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar $ y $, isolamos a função:
y

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 1
C
1 = C e^-2 cdot 0

Passo 8

Substituindo $ C = 1 $ na solução geral:
C = 1

Passo 9

Vamos desenhar o gráfico dessa função. A exponencial $ e^{-2x} $ é uma função decrescente que começa em 1 quando $ x = 0 $ e se aproxima de 0 conforme $ x $ aumenta para o infinito.

Passo 10

Sobre o comportamento no infinito: à medida que $ x $ tende ao infinito, $ y = e^{-2x} $ tende a 0. Isso significa que a solução se aproxima de zero, mas nunca fica exatamente zero.

Resposta

A solução do PVI $ y’ + 2y = 0 $ com $ y(0) = 1 $ é $ y = e^{-2x} $. O gráfico dessa função apresenta uma curva decrescente que começa em 1 quando $ x = 0 $ e se aproxima de 0 à medida que $ x $ vai para o infinito.

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