Determine o domínio da função f em cada caso:
f(x)=sumn=0^+infty n^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir o domínio da função $ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n^{n} x^{n} $. Basicamente, o domínio é o conjunto de valores de $ x $ para os quais essa soma infinita dá certo, ou seja, convergente. Para resolver isso, a gente vai usar um método chamado teste da raiz que ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da raiz. Ele diz que, para uma série $ \sum a_n $, se o limite $ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} $ existir, então:
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, temos $ a_n = n^{n} x^{n} $. Vamos aplicar o teste da raiz nisso.

Passo 3

Vamos calcular o limite $ L $:
L
Simplificando:
L = limn to infty raiz[n]|n^n x^n| = limn to infty raiz[n]n^n cdot raiz[n]|x|^n = limn to infty n cdot |x|

Passo 4

Agora, vamos analisar esse limite:
  • Se $ |x| > 0 $, então $ n \cdot |x| $ cresce sem limites, ou seja, $ L = +\infty $, que é maior que 1. Portanto, a série diverge.
  • Se $ |x| = 0 $, então $ L = 0 $, que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Passo 5

Então, a única situação em que a série converge é quando $ x = 0 $. Para qualquer outro valor de $ x $ diferente de zero, a série não funciona pois não dá um resultado finito.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n^{n} x^{n} $ é apenas $ x = 0 $.

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