Determine o domínio da função f em cada caso:
f(x)=sumn=0^+infty x^nn+2

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+2} $. Isso significa que temos que encontrar todos os valores de $ x $ para os quais essa soma infinita converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, a gente vai usar alguns conceitos de séries infinitas e convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+2} $. Essa é uma série de potências, onde cada termo é dado por $ \frac{x^{n}}{n+2} $. Para descobrir para quais $ x $ a série converge, podemos usar o Teste da Raiz.

Passo 3

O Teste da Raiz ajuda a determinar a convergência de séries infinitas olhando para o limite da raiz enésima do termo geral. Vamos calcular:
L = limn to +infty raiz[n]| x^nn+2 | = limn to +infty |x|(n+2)^1/n
Sabemos que $ (n+2)^{1/n} $ tende a 1 quando $ n $ cresce, então:
(n+2)^1/n
Segundo o Teste da Raiz:
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz:
  • Para $ |x| < 1 $: $ L = |x| < 1 $, então a série converge.
  • Para $ |x| > 1 $: $ L = |x| > 1 $, então a série diverge.
  • Para $ |x| = 1 $: O teste não dá uma resposta definitiva, então precisamos analisar esses casos separadamente.

Passo 5

Vamos verificar os casos onde $ |x| = 1 $.
  • Para $ x = 1 $:
    A série fica $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2} $, que é equivalente à série harmônica |x| = 1 . Sabemos que a série harmônica diverge.
  • Para $ x = -1 $:
    A série fica $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+2} $, que é uma série alternada. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos $ \frac{1}{n+2} $ são decrescentes e tendem a zero, a série converge.

Resposta

O domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais $ x $ tais que $ -1 \leq x < 1 $. Em outras palavras, $ x \in [-1, 1) $.

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