Determine o domínio da função
em cada caso:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+2} $. Isso significa que temos que encontrar todos os valores de $ x $ para os quais essa soma infinita converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, a gente vai usar alguns conceitos de séries infinitas e convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos: $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+2} $. Essa é uma série de potências, onde cada termo é dado por $ \frac{x^{n}}{n+2} $. Para descobrir para quais $ x $ a série converge, podemos usar o Teste da Raiz.
Passo 3
O Teste da Raiz ajuda a determinar a convergência de séries infinitas olhando para o limite da raiz enésima do termo geral. Vamos calcular:
Sabemos que $ (n+2)^{1/n} $ tende a 1 quando $ n $ cresce, então:
Segundo o Teste da Raiz:
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz:
- Para $ |x| < 1 $: $ L = |x| < 1 $, então a série converge.
- Para $ |x| > 1 $: $ L = |x| > 1 $, então a série diverge.
- Para $ |x| = 1 $: O teste não dá uma resposta definitiva, então precisamos analisar esses casos separadamente.
Passo 5
Vamos verificar os casos onde $ |x| = 1 $.
-
Para $ x = 1 $:
A série fica $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2} $, que é equivalente à série harmônica . Sabemos que a série harmônica diverge.|x| = 1 -
Para $ x = -1 $:
A série fica $ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+2} $, que é uma série alternada. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos $ \frac{1}{n+2} $ são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
Resposta
O domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais $ x $ tais que $ -1 \leq x < 1 $. Em outras palavras, $ x \in [-1, 1) $.