Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função
f(x, y)=x^2 y
na elipse 4 x^2+9 y^2=36

Passo 1

Vamos achar extremos de f(x,y)=x^2y sujeitos a 4x2+9y2=36 usando multiplicadores de Lagrange. Precisamos da função objetivo, da restrição e dos gradientes para montar o sistema de Lagrange.

Passo 2

Definimos g(x,y)=4x2+9y2-36. A Lagrangiana é L(x,y,lambda)=x^2y-lambda(4x^2+9y^2-36). As condições de primeira ordem são:
partialLpartial x=2xy-8lambda x=0,
partialLpartial y=x^2-18lambda y=0,
partialLpartiallambda=-(4x^2+9y^2-36)=0

Passo 3

Da equação 2xy-8lambda x=0, se xneq0 então 2y=8lambda ou seja y=4lambda. Da outra, x^2=18lambda y. Substituindo lambda=y/4 em x^2=18lambda y
x^2=18y4y=92y^2

Passo 4

Agora usamos a restrição com x^2=tfrac92y^2:
4l(tfrac92y^2r)+9y^2=36implies27y^2=36implies y^2=tfrac43,
logo x^2=6. Assim os pontos críticos são (pmraiz6,pm2/raiz3). Os casos x=0 ou y=0 dão f=0, que fica entre os valores encontrados e não são extremos globais.

Passo 5

Avaliamo- f=x^2y=6y. Para y=2/raiz3 vem f=4raiz3 e para y=-2/raiz3 vem f=-4raiz3. Concluímos que o máximo é 4raiz3 em (pmraiz6,,2/raiz3) e o mínimo é -4raiz3 em (pmraiz6,,-2/raiz3).

Resposta

O valor máximo é 4raiz3 nos pontos (pmraiz6,,2/raiz3) e o valor mínimo é -4raiz3 nos pontos (pmraiz6,,-2/raiz3).

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