Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^+infty (-3)^n x^nraizn+1

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty (-3)^n x^nraizn+1. Vamos usar teoria de séries de potências: calcular o raio de convergência via teste da raiz (ou razão) e depois checar cada extremo do intervalo.

Passo 2

Para obter o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz: analisamos
limsupntoinfty l|an x^nr|^1/n,
onde an=(-3)^nraizn+1. Temos
|an x^n|^1/n = 3,|x|(n+1)^1/(2n)
Como (n+1)^1/(2n)to1, o limite é 3|x|. Converge se 3|x|<1, ou seja, |x|. Portanto o raio de convergência é R=tfrac13.

Passo 3

No caso x=tfrac13, a série vira
sumn=0^infty (-3)^n (1/3)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1
Aqui temos uma série alternante cujo termo geral bn=1/raizn+1 é positivo, decresce para zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge.

Passo 4

No caso x=-tfrac13, a série fica
sumn=0^infty (-3)^n (-1/3)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1
Essa é a série harmônica de ordem p=1/2, ou seja sum 1/n^1/2, que diverge porque p<=1.

Passo 5

Juntando tudo, o raio de convergência é R=1/3, a série converge para |x|<1/3 e também em x=1/3, mas diverge em x=-1/3.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1/3,,1/3].

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