Determine o domínio da função
em cada caso:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função definida pela série de potências
que é um caso clássico de séries de potências. Vamos usar o conceito de raio de convergência e testar os extremos.
Passo 2
Note que para n=0 temos o termo
, que é indefinido. Portanto, a soma efetivamente começa em n=1, isto é,
Passo 3
Aplicamos o teste da razão na sequência geral
. Calculamos
A série converge se
L<1 , ou seja, quando
|x|<1 .
Passo 4
Para
|x|<1 a série converge absolutamente, então todos esses valores de
x estão no domínio.
Passo 5
No extremo
x=1 a série vira
que é uma p-série com
p=3>1 , logo converge.
Passo 6
No extremo
x=-1 a série fica
Como é uma série alternada com termos de módulo
1/n^3 e
sum1/n^3 converge, essa também converge (até absolutamente).
Passo 7
Portanto, reunindo tudo, a série converge para todos
x tais que
-1<= x<=1 .
Resposta
O domínio de
f é o intervalo [-1,1].