Determine o domínio da função f em cada caso:
f(x)=sumn=0^+infty x^nn^3

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função definida pela série de potências
f(x)=sumn=0^+inftyx^nn^3
que é um caso clássico de séries de potências. Vamos usar o conceito de raio de convergência e testar os extremos.

Passo 2

Note que para n=0 temos o termo x^0/0^3, que é indefinido. Portanto, a soma efetivamente começa em n=1, isto é,
f(x)=sumn=1^+inftyx^nn^3

Passo 3

Aplicamos o teste da razão na sequência geral an=x^nn^3. Calculamos
L=limnto+infty|an+1an|=limnto+infty|x^n+1/(n+1)^3x^n/n^3|=|x|limnto+inftyn^3(n+1)^3=|x|
A série converge se L<1, ou seja, quando |x|<1.

Passo 4

Para |x|<1 a série converge absolutamente, então todos esses valores de x estão no domínio.

Passo 5

No extremo x=1 a série vira
f(1)=sumn=1^+infty1n^3,
que é uma p-série com p=3>1, logo converge.

Passo 6

No extremo x=-1 a série fica
f(-1)=sumn=1^+infty(-1)^nn^3
Como é uma série alternada com termos de módulo 1/n^3 e sum1/n^3 converge, essa também converge (até absolutamente).

Passo 7

Portanto, reunindo tudo, a série converge para todos x tais que -1<= x<=1.

Resposta

O domínio de f é o intervalo [-1,1].

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