Determine o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma série de potências que precisa descobrir onde essa série “funciona”, ou seja, onde ela converge. O conteúdo que vamos usar é sobre séries de potências e, especificamente, o teste do raio de convergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para encontrar o intervalo onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série que temos:
Essa é uma série de potências centrada em $ x = 5 $.
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para séries de potências. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $.
Passo 4
O Teste da Razão diz que:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, a série diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 5
No nosso caso, o termo geral $ a_n $ é:
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Passo 7
Calculando o limite:
Então, temos:
Passo 8
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Isso significa que:
Passo 9
Resolvendo a desigualdade:
Então, o intervalo de convergência preliminar é de 4 a 6.
Passo 10
Agora, precisamos verificar o comportamento nos pontos finais $ x = 4 $ e $ x = 6 $.
Para $ x = 4 $:
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada que converge por causa do Teste da Série Alternada (já que $ \frac{1}{n^{2}} $ é decrescente e tende a zero).
Para $ x = 6 $:
Substituindo na série:
Essa é uma série p, onde $ p = 2 > 1 $, o que também converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ [4,,6] $.