Determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^+infty (x-5)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma série de potências que precisa descobrir onde essa série “funciona”, ou seja, onde ela converge. O conteúdo que vamos usar é sobre séries de potências e, especificamente, o teste do raio de convergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para encontrar o intervalo onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série que temos:
sumn=1^+infty (x-5)^nn^2
Essa é uma série de potências centrada em $ x = 5 $.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para séries de potências. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $.

Passo 4

O Teste da Razão diz que:
L = limn to +infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, a série diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 5

No nosso caso, o termo geral $ a_n $ é:
an
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
an = (x-5)^nn^2

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to +infty | an+1an | = limn to +infty | (x-5)^n+1(n+1)^2 cdot n^2(x-5)^n |
Simplificando:
L = limn to +infty | (x-5) cdot n^2(n+1)^2 | = |x-5| cdot limn to +infty ( nn+1 )^2

Passo 7

Calculando o limite:
limn to +infty ( nn+1 )^2 = limn to +infty ( 11 + 1n )^2 = 1^2 = 1
Então, temos:
L = |x-5| cdot 1 = |x-5|

Passo 8

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso significa que:
|x-5| < 1

Passo 9

Resolvendo a desigualdade:
-1 + 5 < x < 1 + 5 4 < x < 6
Então, o intervalo de convergência preliminar é de 4 a 6.

Passo 10

Agora, precisamos verificar o comportamento nos pontos finais $ x = 4 $ e $ x = 6 $.
Para $ x = 4 $:
Substituindo na série:
x = 4
Essa é uma série alternada que converge por causa do Teste da Série Alternada (já que $ \frac{1}{n^{2}} $ é decrescente e tende a zero).
Para $ x = 6 $:
Substituindo na série:
x = 6
Essa é uma série p, onde $ p = 2 > 1 $, o que também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ [4,,6] $.

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