Determine o domínio da função f sendo:
\sum_{n=0}^{\infty} e^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado define a função f por uma série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{n}x^{n}.
O conteúdo aqui é convergência de séries de potências, e para encontrar o domínio precisamos determinar para quais x essa série converge.

Passo 2

Seja a_{n}=e^{n}x^{n}. Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|e^{n+1}x^{n+1}\bigr|\big/\bigl|e^{n}x^{n}\bigr| =\bigl|e\,x\bigr|.
Pelo Teste da Razão, a série converge se L<1, isto é, se
\bigl|e\,x\bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{e}.

Passo 3

Verificamos os pontos x=\pm\frac{1}{e}.
Para x=\frac{1}{e} temos a_{n}=1 e a série \sum1 diverge.
Para x=-\frac{1}{e} temos a_{n}=(-1)^{n}, cujos termos não tendem a zero, logo a série também diverge.

Passo 4

Concluímos que a série converge apenas quando
|x|<\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle\bigl(-\tfrac{1}{e},\,\tfrac{1}{e}\bigr)

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