Determine o domínio da função f sendo: \sum_{n=0}^{\infty} e^{n} x^{n} Passo 1O enunciado define a função f por uma série de potências f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{n}x^{n}. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências, e para encontrar o domínio precisamos determinar para quais x essa série converge. Passo 2Seja a_{n}=e^{n}x^{n}. Aplicamos o Teste da Razão, calculando L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|e^{n+1}x^{n+1}\bigr|\big/\bigl|e^{n}x^{n}\bigr| =\bigl|e\,x\bigr|. Pelo Teste da Razão, a série converge se L<1, isto é, se \bigl|e\,x\bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{e}. Passo 3Verificamos os pontos x=\pm\frac{1}{e}. Para x=\frac{1}{e} temos a_{n}=1 e a série \sum1 diverge. Para x=-\frac{1}{e} temos a_{n}=(-1)^{n}, cujos termos não tendem a zero, logo a série também diverge. Passo 4Concluímos que a série converge apenas quando |x|<\frac{1}{e}. Resposta \displaystyle\bigl(-\tfrac{1}{e},\,\tfrac{1}{e}\bigr) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAchar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries. f(x)=\sqrt{x}, a=9 Achar a série de potências em torno dos pontos indicados das funções dadas, fornecendo o intervalo onde estas estão representadas pelas correspondentes séries. f(x)=\operatorname{sen}(x), a=\frac{\pi}{6} Determine o domínio da função f sendo: \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n(\ln (n))^{2}} Determine o domínio da função f sendo: \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{senh}(2 n) x^{n}