Determine o dominio da função
f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-36}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-36}.
Estamos no tópico de funções racionais e, para esse tipo de função, o domínio é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} tais que o denominador seja diferente de zero.

Passo 2

Identificamos o denominador e impomos a condição de existência:
x^{2}-36 \neq 0.
Isso garante que não ocorrerá divisão por zero.

Passo 3

Para resolver a desigualdade, primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-36 = (x-6)(x+6).
Logo, o denominador se anula quando x=6 ou x=-6. Esses valores devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Retirando x=6 e x=-6 de \mathbb{R}, obtemos
\mathbb{R}\setminus\{-6,6\}.
Em notação de intervalos, isso fica
(-\infty,-6)\,\cup\,(-6,6)\,\cup\,(6,\infty).

Resposta

\mathcal{D} = \mathbb{R}\setminus\{-6,6\} = (-\infty,-6)\cup(-6,6)\cup(6,\infty).

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