Determine o dominio da função
f(x)=\frac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}-6 x}}\

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}-6x}}.
O conteúdo principal é encontrar as restrições para a raiz no denominador estar bem definida (número real) e não zerar. Para isso, vamos exigir que o radicando seja estritamente positivo.

Passo 2

A condição para a raiz quadrada ser real e o denominador não ser zero é
x^{2}-6x>0.

Passo 3

Resolvendo a inequação x^{2}-6x>0:
x(x-6)>0
As raízes da expressão são x=0 e x=6. Testando intervalos, temos:
  • Para x<0, x(x-6)>0 (positivo).
  • Para 0<x<6, x(x-6)<0 (negativo).
  • Para x>6, x(x-6)>0 (positivo).

Passo 4

Portanto, a condição x^{2}-6x>0 vale para x<0 ou x>6. Não há outras restrições, pois o numerador x^{2}+4 é sempre positivo.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,0)\cup(6,\infty).

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