Determine o dominio da função
f(x)=\frac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}-6 x}}\

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{x^{2}+4}{\sqrt{x^{2}-6x}}\,.
Para ter f(x) real e bem definida precisamos que o radicando de \sqrt{\;\cdot\;} seja positivo (já que está no denominador) e não nulo.

Passo 2

Exigimos
x^{2}-6x>0,
pois se x^{2}-6x=0 o denominador fica zero (indefinido) e se x^{2}-6x<0 a raiz não é real.

Passo 3

Fatoramos a expressão no lado esquerdo:
x^{2}-6x = x(x-6).
As raízes são x=0 e x=6. Fazendo análise de sinais de x(x-6):
  • Em x<0, ambos x e (x-6) são negativos e o produto é positivo.
  • Em 0<x<6, um fator é positivo e o outro negativo, produto negativo.
  • Em x>6, ambos são positivos, produto positivo.

Passo 4

Da análise de sinais concluímos que
x(x-6)>0
se e somente se
x<0\quad\text{ou}\quad x>6.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,0)\cup(6,\infty).

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