Considere a função:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+13 .
(a) Determine os pontos críticos da função.
(b) Classifique cada ponto crítico utilizando o teste da segunda derivada, isto é, analise o sinal do determinante da matriz Hessiana e de f_{x x} para concluir se há um mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x-6y+13
e pede (a) os pontos críticos, isto é, as soluções de \nabla f=0, e (b) a classificação de cada ponto usando o teste da segunda derivada (determinante da Hessiana e sinal de f_{xx}).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para obter \nabla f:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}-4x-6y+13\bigr) =2x-4,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}-4x-6y+13\bigr) =2y-6.
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
2x-4=0,\qquad 2y-6=0
o que dá
x=2,\qquad y=3.
Logo, há um único ponto crítico (2,3).

Passo 3

Agora, as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4)=2, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2y-6)=2, \quad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante vale
D=\det(H)=2\cdot 2-0\cdot 0=4>0.

Passo 4

Como D>0 e f_{xx}=2>0, a Hessiana é positiva definida em (2,3). Pelo teste da segunda derivada, isso indica um mínimo local nesse ponto.

Resposta

O único ponto crítico é (2,3), e este ponto é um mínimo local de f.

Exercícios relacionados