Calcule as integrais
\iint_{S} F \cdot d S, onde F(x, y, z)=\frac{x^{3}}{3} \vec{\imath}+2 x z^{3} \vec{\jmath}+\left(y^{2} z-\operatorname{sen}(x y)\right) \vec{k}, E é o sólido limitado pela superficie de equaçào z=4-x{2}-y{2} e pelo plano x y e S é a fronteira de E.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S
onde \mathbf F(x,y,z)=\bigl(\tfrac{x^3}{3},\,2xz^3,\,y^2z-\sin(xy)\bigr) e S é a superfície fechada que faz fronteira com o sólido
E=\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 4-x^2-y^2\}.
Como S é fechada, vamos aplicar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_{E}\nabla\cdot \mathbf F\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf F:
\nabla\cdot \mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x^3}{3}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xz^3\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^2z-\sin(xy)\bigr).
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x^3}{3}\Bigr)=x^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xz^3\bigr)=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^2z-\sin(xy)\bigr)=y^2.
Logo
\nabla\cdot \mathbf F = x^2+y^2.

Passo 3

O fluxo vira
\iiint_{E}(x^2+y^2)\,dV.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x^2+y^2=r^2 e dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
O sólido E corresponde a
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le2,\quad 0\le z\le 4-r^2.
Portanto
\iiint_{E}(x^2+y^2)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{4-r^2}r^2\,(r\,dz)\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^3\bigl(4-r^2\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2}r^3(4-r^2)\,dr =\int_{0}^{2}(4r^3-r^5)\,dr =\Bigl[r^4-\tfrac{r^6}{6}\Bigr]_{0}^{2} =16-\frac{64}{6} =16-\frac{32}{3} =\frac{16}{3}.
Em seguida, em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{16}{3}\,d\theta =\frac{16}{3}\cdot 2\pi =\frac{32\pi}{3}.

Resposta

\boxed{\frac{32\pi}{3}}

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