Calcule as integrais
\iint_{S} F \cdot d S, onde F(x, y, z)=\frac{x^{3}}{3} \vec{\imath}+2 x z^{3} \vec{\jmath}+\left(y^{2} z-\operatorname{sen}(x y)\right) \vec{k}, E é o sólido limitado pela superficie de equaçào z=4-x{2}-y{2} e pelo plano x y e S é a fronteira de E.
\iint_{S} F \cdot d S, onde F(x, y, z)=\frac{x^{3}}{3} \vec{\imath}+2 x z^{3} \vec{\jmath}+\left(y^{2} z-\operatorname{sen}(x y)\right) \vec{k}, E é o sólido limitado pela superficie de equaçào z=4-x{2}-y{2} e pelo plano x y e S é a fronteira de E.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a superfície fechada que faz fronteira com o sólido
Como
é fechada, vamos aplicar o Teorema da Divergência (Gauss), que diz
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Derivando termo a termo:
Logo
Passo 3
O fluxo vira
Em coordenadas cilíndricas
, temos
e
.
O sólido corresponde a
O sólido
Portanto
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Em seguida, em
: