Determine o domínio da função:
(f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}})

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}}
e pede: determinar o conjunto de todos os x reais para os quais f(x) está bem definida (isto é, o domínio de f).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O numerador é x^{2}, que está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador é \sqrt{|x|-2}, que impõe restrições (porque envolve raiz quadrada e divisão).

Passo 2

Entender as duas restrições que vêm do denominador:
  1. A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, pois a raiz quadrada real \sqrt{\cdot} exige argumento \ge 0. Portanto é preciso ter
|x|-2 \ge 0.
  1. Além disso, não se pode dividir por zero. Logo o valor da raiz não pode ser zero; portanto devemos também excluir pontos onde
\sqrt{|x|-2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|-2=0.

Passo 3

Resolver a desigualdade |x|-2\ge 0. Vou explicar o que é |x| e como resolver esse tipo de desigualdade sem pular etapas.
Definição útil: |x| é igual a x se x\ge 0 e igual a -x se x<0. Então resolvemos em dois casos.
Caso A: x\ge 0. Então |x|=x e a desigualdade vira
x-2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge 2.
Caso B: x<0. Então |x|=-x e a desigualdade vira
-x-2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x\ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -2.
Juntando os dois casos, a condição |x|-2\ge 0 equivale a
|x|\ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -2\\ \text{ou}\\ x\ge 2.

Passo 4

Agora aplicar a segunda restrição: excluir pontos que tornam o denominador zero. Isso ocorre quando |x|-2=0, ou seja quando |x|=2. Os únicos x reais que satisfazem |x|=2 são
x=2 \quad\text{e}\quad x=-2.
Nesses pontos \sqrt{|x|-2}=\sqrt{0}=0, e dividir por zero não é permitido. Logo x=2 e x=-2 devem ser excluídos.

Passo 5

Combinar as duas conclusões: a raiz exige |x|\ge 2 e a divisão exige |x|\neq 2. Assim os valores permitidos de x são exatamente aqueles que satisfazem
|x|>2.
Em palavras: todos os números reais estritamente menores que -2 e todos os números reais estritamente maiores que 2. (Vou deixar a forma final em notação de intervalo apenas na seção de resposta.)

Resposta

(- \infty, -2) \cup (2, +\infty)

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