Determine o domínio da função:
(f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}})
(f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}})
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: determinar o conjunto de todos os
reais para os quais
está bem definida (isto é, o domínio de
).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O numerador é
, que está definido para todo . - O denominador é
, que impõe restrições (porque envolve raiz quadrada e divisão).
Passo 2
Entender as duas restrições que vêm do denominador:
- A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, pois a raiz quadrada real
exige argumento . Portanto é preciso ter
- Além disso, não se pode dividir por zero. Logo o valor da raiz não pode ser zero; portanto devemos também excluir pontos onde
Passo 3
Resolver a desigualdade
. Vou explicar o que é
e como resolver esse tipo de desigualdade sem pular etapas.
Definição útil:
é igual a
se
e igual a
se
. Então resolvemos em dois casos.
Caso A:
. Então
e a desigualdade vira
Caso B:
. Então
e a desigualdade vira
Juntando os dois casos, a condição
equivale a
Passo 4
Agora aplicar a segunda restrição: excluir pontos que tornam o denominador zero. Isso ocorre quando
, ou seja quando
. Os únicos
reais que satisfazem
são
Nesses pontos
, e dividir por zero não é permitido. Logo
e
devem ser excluídos.
Passo 5
Combinar as duas conclusões: a raiz exige
e a divisão exige
. Assim os valores permitidos de
são exatamente aqueles que satisfazem
Em palavras: todos os números reais estritamente menores que
e todos os números reais estritamente maiores que
. (Vou deixar a forma final em notação de intervalo apenas na seção de resposta.)