Encontre as funções (f \circ g):
(f(x)=x+\frac{1}{x}, g(x)=\frac{x+1}{x+2})

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a composição (f\circ g). As informações fornecidas são:
  • f(x)=x+\dfrac{1}{x}. Observação: esta expressão só está definida quando x\neq 0.
  • g(x)=\dfrac{x+1}{x+2}. Observação: esta expressão só está definida quando x\neq -2.
    O que o problema pede: calcular explicitamente (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e indicar quaisquer restrições de domínio que surjam da composição.

Passo 2

Entender o que significa compor: (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr). Ou seja, substituir a expressão de g(x) no lugar de x em f. Como f(t)=t+\dfrac{1}{t} para uma variável genérica t, ao compor temos
(f\circ g)(x)=g(x)+\frac{1}{g(x)}.
Aqui é importante lembrar a restrição: precisamos que g(x) esteja no domínio de f, isto é, que g(x)\neq 0. Também mantemos a restrição original x\neq -2 para g.

Passo 3

Escrever g(x) e calcular o inverso 1/g(x):
g(x)=\frac{x+1}{x+2}, \qquad \frac{1}{g(x)}=\frac{x+2}{x+1}.
Explicação curta: para inverter uma fração \dfrac{a}{b} troca-se numerador por denominador, obtendo \dfrac{b}{a}. Aqui a=x+1 e b=x+2.

Passo 4

Somar as duas parcelas obtidas:
(f\circ g)(x)=\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+1}.
Para somar frações com denominadores diferentes, usamos o denominador comum (x+2)(x+1). Portanto:
(f\circ g)(x)=\frac{(x+1)^2+(x+2)^2}{(x+2)(x+1)}.

Passo 5

Expandir os quadrados no numerador e somar termos semelhantes:
(x+1)^2 = x^2+2x+1, \qquad (x+2)^2 = x^2+4x+4.
Somando:
(x+1)^2+(x+2)^2 = (x^2+2x+1)+(x^2+4x+4)=2x^2+6x+5.
Então obtemos
(f\circ g)(x)=\frac{2x^2+6x+5}{(x+1)(x+2)}.
Também é útil ver o denominador expandido:
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2,
portanto outra forma é
(f\circ g)(x)=\frac{2x^2+6x+5}{x^2+3x+2}.

Passo 6

Determinar o domínio de (f\circ g). Devemos excluir:
  • x=-2, porque g(x) não está definida aí (denominador de g zero);
  • x=-1, porque g(-1)=0 e então 1/g(x) não está definida.
    Verificamos que o numerador 2x^2+6x+5 não zera em x=-1 nem em x=-2 (substituindo dá 1 em ambos os pontos), então não há cancelamento que recupere esses pontos. Logo o domínio da composição é todos os x reais exceto x=-2 e x=-1.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{(x+1)(x+2)}
Domínio: todos os x\in\mathbb{R} tais que x\neq -2 e x\neq -1.

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