Encontre as funções (f \circ g):
(f(x)=x+\frac{1}{x}, g(x)=\frac{x+1}{x+2})
(f(x)=x+\frac{1}{x}, g(x)=\frac{x+1}{x+2})
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede a composição
. As informações fornecidas são:
-
. Observação: esta expressão só está definida quando . -
. Observação: esta expressão só está definida quando .
O que o problema pede: calcular explicitamentee indicar quaisquer restrições de domínio que surjam da composição.
Passo 2
Entender o que significa compor:
. Ou seja, substituir a expressão de
no lugar de
em
. Como
para uma variável genérica
, ao compor temos
Aqui é importante lembrar a restrição: precisamos que
esteja no domínio de
, isto é, que
. Também mantemos a restrição original
para
.
Passo 3
Escrever
e calcular o inverso
:
Explicação curta: para inverter uma fração
troca-se numerador por denominador, obtendo
. Aqui
e
.
Passo 4
Somar as duas parcelas obtidas:
Para somar frações com denominadores diferentes, usamos o denominador comum
. Portanto:
Passo 5
Expandir os quadrados no numerador e somar termos semelhantes:
Somando:
Então obtemos
Também é útil ver o denominador expandido:
portanto outra forma é
Passo 6
Determinar o domínio de
. Devemos excluir:
-
, porque não está definida aí (denominador de zero); -
, porque e então não está definida.
Verificamos que o numeradornão zera em nem em (substituindo dá em ambos os pontos), então não há cancelamento que recupere esses pontos. Logo o domínio da composição é todos os reais exceto e .
Resposta
Domínio: todos os
tais que
e
.