Determine o domínio da função:
(f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}})

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}} e pede o domínio — isto é, o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais f(x) está bem definida como número real.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem duas raízes quadradas aninhadas (radicais): a interna \sqrt{1-x^{2}} e a externa \sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Para a função ser real, cada radicando (o que está dentro de cada raiz) deve ser maior ou igual a zero.
  • Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, frações com denominador zero), só essas raízes.

Passo 2

Condição para a raiz interna existir: o radicando da raiz interna deve ser não negativo. Ou seja,
1-x^{2}\ge 0.
Explicando passo a passo: subtrai-se x^{2} de ambos os lados para obter 1\ge x^{2}, que é a mesma coisa que
x^{2}\le 1.
Resolver x^{2}\le 1 é padrão: os valores de x cuja quadrado é menor ou igual a 1 estão no intervalo entre -1 e 1. Logo a condição da raiz interna dá
-1\le x\le 1.

Passo 3

Condição para a raiz externa existir: o radicando da raiz externa deve ser não negativo. Ou seja,
1-\sqrt{1-x^{2}}\ge 0.
Isso pode ser reescrito como
\sqrt{1-x^{2}}\le 1.

Passo 4

Justificativa de manipulação da desigualdade com raiz: \sqrt{1-x^{2}} é um número não negativo para todo x onde a raiz interna existe; o lado direito 1 também é não negativo. Quando ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado preservando a desigualdade. Ao elevar ao quadrado obtemos
1-x^{2}\le 1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-x^{2}\le 0.
Multiplicando por -1 (o que inverte a desigualdade) resulta
x^{2}\ge 0.
Mas isto é verdadeiro para todo x\in\mathbb{R}, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. Portanto a condição da raiz externa não impõe restrição adicional além da já imposta pela raiz interna.

Passo 5

Conclusão combinada: a única restrição real vem de 1-x^{2}\ge 0, que deu x\in[-1,1]. Como para esses x temos \sqrt{1-x^{2}}\in[0,1], então 1-\sqrt{1-x^{2}}\in[0,1] também, mostrando que a raiz externa é bem definida em todo o intervalo [-1,1].

Passo 6

Verificações rápidas (sanity check) para fixar a ideia:
  • Se x=0: f(0)=\sqrt{1-\sqrt{1-0^{2}}}=\sqrt{1-\sqrt{1}}=\sqrt{1-1}=0 — definido.
  • Se x=1: f(1)=\sqrt{1-\sqrt{1-1^{2}}}=\sqrt{1-\sqrt{0}}=\sqrt{1-0}=1 — definido.
  • Se x=2: 1-x^{2}=1-4=-3<0, a raiz interna não é real, logo x=2 não pertence ao domínio — consistente com a conclusão.

Resposta

[-1,1]

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