Determine o domínio da função:
(f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}})
(f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}})
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio — isto é, o conjunto de todos os
para os quais
está bem definida como número real.
Informações relevantes fornecidas:
- A função tem duas raízes quadradas aninhadas (radicais): a interna
e a externa . - Para a função ser real, cada radicando (o que está dentro de cada raiz) deve ser maior ou igual a zero.
- Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, frações com denominador zero), só essas raízes.
Passo 2
Condição para a raiz interna existir: o radicando da raiz interna deve ser não negativo. Ou seja,
Explicando passo a passo: subtrai-se
de ambos os lados para obter
, que é a mesma coisa que
Resolver
é padrão: os valores de
cuja quadrado é menor ou igual a
estão no intervalo entre
e
. Logo a condição da raiz interna dá
Passo 3
Condição para a raiz externa existir: o radicando da raiz externa deve ser não negativo. Ou seja,
Isso pode ser reescrito como
Passo 4
Justificativa de manipulação da desigualdade com raiz:
é um número não negativo para todo
onde a raiz interna existe; o lado direito
também é não negativo. Quando ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado preservando a desigualdade. Ao elevar ao quadrado obtemos
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por
(o que inverte a desigualdade) resulta
Mas isto é verdadeiro para todo
, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. Portanto a condição da raiz externa não impõe restrição adicional além da já imposta pela raiz interna.
Passo 5
Conclusão combinada: a única restrição real vem de
, que deu
. Como para esses
temos
, então
também, mostrando que a raiz externa é bem definida em todo o intervalo
.
Passo 6
Verificações rápidas (sanity check) para fixar a ideia:
- Se
: — definido. - Se
: — definido. - Se
: , a raiz interna não é real, logo não pertence ao domínio — consistente com a conclusão.