Determine o domínio da função
.
Passo 1
No passo 1 resumimos o enunciado e o que vamos usar. A função é
o conteúdo principal é domínio de funções compostas envolvendo logaritmo e seno, e vamos precisar lembrar que o log só existe quando o argumento é estritamente positivo e também que
para
fazer sentido.
Passo 2
No passo 2 usamos a condição do logaritmo: para
estar definido, precisamos de
Aqui
, então exigimos
Passo 3
No passo 3 recordamos quando o seno é positivo. Sabemos que
$$\sin(\theta)>0\quad\Longleftrightarrow\quad\theta\in\bigl(2k\pi,,(2k+1)\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Substituindo
, ficamos com
Passo 4
No passo 4 resolvemos a desigualdade para
. Há dois casos: x>0 e x<0.
– Se
, ao inverter
vira
e
vira
. Então para
temos
lembrando que para
o extremo
é
, gerando o intervalo
.
– Se
, ao inverter desigualdades em sinal negativo, obtemos o mesmo formato de intervalo, mas agora os números são negativos. Para cada
temos
Passo 5
No passo 5 juntamos tudo. Assim o domínio de
é a união de todos esses intervalos onde
e
.