Determine o domínio da função f(x)=ln [sen(1x)].

Passo 1

No passo 1 resumimos o enunciado e o que vamos usar. A função é
f(x)=lnl[sinl(1/xr)r],
o conteúdo principal é domínio de funções compostas envolvendo logaritmo e seno, e vamos precisar lembrar que o log só existe quando o argumento é estritamente positivo e também que xneq0 para 1/x fazer sentido.

Passo 2

No passo 2 usamos a condição do logaritmo: para ln(A) estar definido, precisamos de
A>0
Aqui A=sinl(1/xr), então exigimos
sinl(1/xr)>0

Passo 3

No passo 3 recordamos quando o seno é positivo. Sabemos que
$$\sin(\theta)>0\quad\Longleftrightarrow\quad\theta\in\bigl(2k\pi,,(2k+1)\pi\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Substituindo sin(theta)>0Long<=ftrightarrowthetainl(2kpi,,(2k+1)pir), kinZ , ficamos com
theta=1/x

Passo 4

No passo 4 resolvemos a desigualdade para x. Há dois casos: x>0 e x<0.
– Se x>0, ao inverter 1/x>2kpi vira x<1/(2kpi) e 1/x<(2k+1)pi vira x>1/[(2k+1)pi]. Então para x>0 temos
xinl(1(2k+1)pi,,12kpir), k>=0,
lembrando que para k=0 o extremo 1/(2kpi) é +infty, gerando o intervalo (1/pi,,+infty).
– Se x<0, ao inverter desigualdades em sinal negativo, obtemos o mesmo formato de intervalo, mas agora os números são negativos. Para cada k<0 temos
xinl(1(2k+1)pi,,12kpir), k<0

Passo 5

No passo 5 juntamos tudo. Assim o domínio de f é a união de todos esses intervalos onde sin(1/x)>0 e xneq0.

Passo 6

Resposta

D=cupkin Z(1(2k+1)pi,,12kpi).

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