Determine o domínio da função:
(f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}})
(f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}})
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações do enunciado que vamos usar:
- A expressão contém uma raiz quadrada
no denominador. - A função deve ser real (assumimos domínio em
). - A pergunta é: para quais valores de
a expressão que define faz sentido (é bem definida e real)?
Passo 2
Entendendo as restrições impostas pela raiz no denominador (aula rápida):
- Para
com valor real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos de
- Além disso, como essa raiz está no denominador, não podemos ter denominador igual a zero. Logo devemos excluir o caso em que
. Isso implica que precisamos de
Resumo: a condição que garante que a fração exista e seja real é
.
Passo 3
Resolver a desigualdade
. Primeiro fatoramos:
Então precisamos achar os
tais que
Passo 4
Análise do sinal do produto
(método do quadro de sinais / raciocínio com pontos críticos):
- Os pontos que anulam os fatores são
e . Esses pontos dividem a reta em três intervalos: , e . - Em cada intervalo, escolhemos um ponto teste para verificar o sinal:
- Para
(no intervalo ): . Logo o produto é negativo nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): . Produto positivo nesse intervalo. - Para
(no intervalo ): . Produto positivo nesse intervalo.
- Para
- Portanto a desigualdade
é satisfeita quando estamos nos intervalos onde o produto é positivo, isto é:
Passo 5
Interpretação alternativa (mais curta, útil na prova): a desigualdade
é equivalente a
que equivale a
. Daí imediatamente obtemos os mesmos intervalos
ou seja
.
Passo 6
Verificação rápida de bordas e exemplos (para ganhar confiança):
- Em
ou o radicando é zero ( ), então e haveria divisão por zero: valores proibidos. Por isso os extremos não pertencem ao domínio. - Exemplo: para
temos , definido e real. - Exemplo: para
a expressão não está definida pois e a raiz é imaginária.