Determine o domínio da função:
(f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}})

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Informações do enunciado que vamos usar:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-1} no denominador.
  • A função deve ser real (assumimos domínio em \mathbb{R}).
  • A pergunta é: para quais valores de x\in\mathbb{R} a expressão que define f(x) faz sentido (é bem definida e real)?

Passo 2

Entendendo as restrições impostas pela raiz no denominador (aula rápida):
  • Para \sqrt{\,\cdot\,} com valor real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, precisamos de
x^{2}-1 \ge 0.
  • Além disso, como essa raiz está no denominador, não podemos ter denominador igual a zero. Logo devemos excluir o caso em que \sqrt{x^{2}-1}=0. Isso implica que precisamos de
x^{2}-1 > 0.
Resumo: a condição que garante que a fração exista e seja real é \,x^{2}-1>0\,.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,x^{2}-1>0\,. Primeiro fatoramos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Então precisamos achar os x tais que
(x-1)(x+1)>0.

Passo 4

Análise do sinal do produto (x-1)(x+1) (método do quadro de sinais / raciocínio com pontos críticos):
  • Os pontos que anulam os fatores são x=1 e x=-1. Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
  • Em cada intervalo, escolhemos um ponto teste para verificar o sinal:
    • Para x=0 (no intervalo (-1,1)): (0-1)(0+1)=(-1)(1)=-1<0. Logo o produto é negativo nesse intervalo.
    • Para x=2 (no intervalo (1,\infty)): (2-1)(2+1)=1\cdot3=3>0. Produto positivo nesse intervalo.
    • Para x=-2 (no intervalo (-\infty,-1)): (-2-1)(-2+1)=(-3)(-1)=3>0. Produto positivo nesse intervalo.
  • Portanto a desigualdade (x-1)(x+1)>0 é satisfeita quando estamos nos intervalos onde o produto é positivo, isto é:
x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Interpretação alternativa (mais curta, útil na prova): a desigualdade x^{2}-1>0 é equivalente a
x^{2}>1,
que equivale a |x|>1. Daí imediatamente obtemos os mesmos intervalos
x<-1\quad\text{ou}\quad x>1,
ou seja x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 6

Verificação rápida de bordas e exemplos (para ganhar confiança):
  • Em x=1 ou x=-1 o radicando é zero ( x^{2}-1=0), então \sqrt{x^{2}-1}=0 e haveria divisão por zero: valores proibidos. Por isso os extremos \pm1 não pertencem ao domínio.
  • Exemplo: para x=2 temos f(2)=2+\dfrac{1}{\sqrt{4-1}}=2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}, definido e real.
  • Exemplo: para x=0 a expressão não está definida pois x^{2}-1=-1<0 e a raiz é imaginária.

Resposta

(- \infty,-1)\cup(1,\infty)

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