Determine o domínio da função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de todos os pontos
em que a expressão que define
faz sentido). Informações explícitas do enunciado:
- A função depende das variáveis
, e . - A expressão contém
e .
Passo 2
O que significa “fazer sentido” (domínio) na prática?
Significa que todas as operações na fórmula devem estar definidas como números reais. Portanto preciso verificar, separadamente, as restrições que as duas partes problemáticas impõem:
Significa que todas as operações na fórmula devem estar definidas como números reais. Portanto preciso verificar, separadamente, as restrições que as duas partes problemáticas impõem:
-
(logaritmo natural), -
(tangente).
Passo 3
Analisando
.
Definição e regra prática: o logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos reais, isto é, para
. Não existe
nem
de número negativo no conjunto dos reais.
Aplicando ao nosso caso: para que exista é preciso
Definição e regra prática: o logaritmo natural
Aplicando ao nosso caso: para que
Passo 4
Analisando
.
Propriedade importante: a tangente é indefinida quando
. Os zeros de
ocorrem em
Propriedade importante: a tangente
No nosso caso
. Então devemos excluir os
que satisfazem
Multiplicando ambos os lados por
obtemos os valores proibidos de
:
Ou seja, qualquer
da forma
torna
indefinida e deve ser excluído do domínio.
Passo 5
Combinação das restrições e comportamento de
.
- A condição da parte
exige . - A condição da parte
exige para todo .
As duas condições devem valer ao mesmo tempo, entãoprecisa ser positivo e não pode coincidir com nenhum dos pontos proibidos da sequência .
Quanto ae : não há nenhuma operação que restrinja ou (produto com é definido para qualquer desde que exista). Logo e podem ser quaisquer reais.