Determine o domínio da função:
f(x, y, z)=x y \ln z+3 \operatorname{tg} \frac{1}{2} z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x y \ln z+3\tan\!\left(\tfrac{1}{2}z\right)
e pede: determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em que a expressão que define f faz sentido). Informações explícitas do enunciado:
  • A função depende das variáveis x, y e z.
  • A expressão contém \ln z e \tan\!\left(\tfrac{1}{2}z\right).

Passo 2

O que significa “fazer sentido” (domínio) na prática?
Significa que todas as operações na fórmula devem estar definidas como números reais. Portanto preciso verificar, separadamente, as restrições que as duas partes problemáticas impõem:
  • \ln z (logaritmo natural),
  • \tan\!\left(\tfrac{1}{2}z\right) (tangente).

Passo 3

Analisando \ln z.
Definição e regra prática: o logaritmo natural \ln t está definido apenas para argumentos positivos reais, isto é, para t>0. Não existe \ln 0 nem \ln de número negativo no conjunto dos reais.
Aplicando ao nosso caso: para que \ln z exista é preciso
z>0.

Passo 4

Analisando \tan\!\left(\tfrac{1}{2}z\right).
Propriedade importante: a tangente \tan u é indefinida quando \cos u=0. Os zeros de \cos ocorrem em
u=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
No nosso caso u=\tfrac{1}{2}z. Então devemos excluir os z que satisfazem
\frac{1}{2}z=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos os valores proibidos de z:
z=\pi+2k\pi=\pi(1+2k),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, qualquer z da forma \pi+2k\pi torna \tan\!\left(\tfrac{1}{2}z\right) indefinida e deve ser excluído do domínio.

Passo 5

Combinação das restrições e comportamento de x,y.
  • A condição da parte \ln z exige z>0.
  • A condição da parte \tan exige z\neq \pi+2k\pi para todo k\in\mathbb{Z}.
    As duas condições devem valer ao mesmo tempo, então z precisa ser positivo e não pode coincidir com nenhum dos pontos proibidos da sequência \pi+2k\pi.
    Quanto a x e y: não há nenhuma operação que restrinja x ou y (produto com \ln z é definido para qualquer x,y\in\mathbb{R} desde que \ln z exista). Logo x e y podem ser quaisquer reais.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z>0,\; z\neq \pi+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\}

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