Determine o domínio da função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações explícitas do enunciado:
Informações explícitas do enunciado:
- A expressão interna do logaritmo é
. - As variáveis são
em . - A pergunta é apenas: qual o conjunto de pontos
em que está definida?
Passo 2
Lembrete essencial sobre o logaritmo natural (a regra que vamos usar). Para o logaritmo real
estar definido é necessário e suficiente que
seja estritamente positivo. Ou seja:
Explicação curta e intuitiva:
só existe para
no contexto de números reais; em
o log vai para
e para
não existe log real.
Passo 3
Aplicando a condição do logaritmo à nossa função: o argumento do log deve ser maior que zero. Logo exigimos
Somando
em ambos os lados obtemos a condição equivalente
Passo 4
Interpretação geométrica e significado da desigualdade. A quantidade
é o quadrado da distância do ponto
à origem em
. A condição
significa que a distância à origem é maior que
. Geometricamente, isso é o exterior da esfera de raio
centrada na origem; a esfera de raio
(a superfície) corresponde à igualdade
e é excluída porque aí o argumento do log seria
.
Passo 5
Verificando exemplos concretos (para fixar a ideia):
-
: (negativo) → ponto NÃO pertence ao domínio. -
: → ponto NÃO pertence ao domínio (log não definido em ). -
: (positivo) → ponto pertence ao domínio.
Passo 6
Escrevendo o domínio em notação matemática padrão. O domínio é o conjunto de todos os pontos em
que satisfazem a desigualdade obtida:
Também se pode descrever como o complemento do bola fechada unitária:
.