Determine o domínio da função:
f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\ln\!\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right) e pede: determinar o domínio dessa função.
Informações explícitas do enunciado:
  • A expressão interna do logaritmo é x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.
  • As variáveis são (x,y,z) em \mathbb{R}^{3}.
  • A pergunta é apenas: qual o conjunto de pontos (x,y,z) em que f está definida?

Passo 2

Lembrete essencial sobre o logaritmo natural (a regra que vamos usar). Para o logaritmo real \ln(t) estar definido é necessário e suficiente que t seja estritamente positivo. Ou seja:
\ln(t)\\ \text{está definida} \quad\Longleftrightarrow\quad t>0.á
Explicação curta e intuitiva: \ln(t) só existe para t>0 no contexto de números reais; em t=0 o log vai para -\infty e para t<0 não existe log real.

Passo 3

Aplicando a condição do logaritmo à nossa função: o argumento do log deve ser maior que zero. Logo exigimos
x^{2}+y^{2}+z^{2}-1>0.
Somando 1 em ambos os lados obtemos a condição equivalente
x^{2}+y^{2}+z^{2}>1.

Passo 4

Interpretação geométrica e significado da desigualdade. A quantidade x^{2}+y^{2}+z^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y,z) à origem em \mathbb{R}^{3}. A condição x^{2}+y^{2}+z^{2}>1 significa que a distância à origem é maior que 1. Geometricamente, isso é o exterior da esfera de raio 1 centrada na origem; a esfera de raio 1 (a superfície) corresponde à igualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e é excluída porque aí o argumento do log seria 0.

Passo 5

Verificando exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • (0,0,0): x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 = -1 (negativo) → ponto NÃO pertence ao domínio.
  • (1,0,0): x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 = 0 → ponto NÃO pertence ao domínio (log não definido em 0).
  • (2,0,0): x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 = 3 (positivo) → ponto pertence ao domínio.

Passo 6

Escrevendo o domínio em notação matemática padrão. O domínio é o conjunto de todos os pontos em \mathbb{R}^{3} que satisfazem a desigualdade obtida:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}>1\}.
Também se pode descrever como o complemento do bola fechada unitária: \mathbb{R}^{3}\setminus\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}>1\}

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