Seja a função
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
(a) Identifique o domínio.
(b) Identifique a superfície gerada.
(c) Essa função representa toda a superfície? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
e pede três coisas:
(a) identificar o domínio da função z (conjunto de pontos (x,y) em que a expressão está bem definida);
(b) identificar geometricamente a superfície gerada no espaço (x,y,z);
(c) dizer se essa expressão representa toda a superfície encontrada em (b) e justificar.
Informações relevantes fornecidas: a expressão sob a raiz é 4-x^{2}-y^{2}; a presença da raiz quadrada impõe restrição de sinal no radicando.

Passo 2

Entender o domínio: quando uma função envolve \sqrt{\;\cdot\;}, a regra básica é que o radicando deve ser não negativo. Ou seja, para que z esteja bem definida em um ponto (x,y) precisamos ter
4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Vou manipular essa desigualdade passo a passo para ficar claro o conjunto de (x,y) que satisfazem.
Subtrair 4 de ambos os lados e multiplicar por -1 (lembre que isso inverte o sinal da desigualdade) dá
x^{2}+y^{2}\le 4.
Essa desigualdade descreve geometricamente todos os pontos (x,y) cujo quadrado da distância ao origem é menor ou igual a 4, isto é, o disco fechado de raio 2 centrado na origem no plano xy. Em linguagem matemática:
\text{Domínio}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.í
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se (x,y)=(0,0), então x^{2}+y^{2}=0\le4 e z=\sqrt{4}=2.
  • Se (x,y)=(2,0), então x^{2}+y^{2}=4 (na fronteira) e z=\sqrt{0}=0.
  • Se (x,y)=(3,0), então x^{2}+y^{2}=9>4 e a raiz não é real (fora do domínio).

Passo 3

Identificar a superfície: transformar a expressão em uma equação que relaciona x,y,z. Começo elevando ambos os lados ao quadrado (aqui é uma operação reversible com cuidado sobre o sinal):
z^{2}=4-x^{2}-y^{2}.
Rearranjando os termos obtenho a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Essa é a equação de uma esfera de centro na origem e raio 2 no espaço tridimensional. Então algebraicamente a expressão quadrada corresponde à esfera de raio 2.
Um comentário didático importante: ao elevar ambos os lados ao quadrado perde-se informação sobre o sinal de z (pois tanto z quanto -z têm o mesmo quadrado). Por isso é preciso voltar ao formato original da função para saber qual “parte” da esfera está sendo representada.

Passo 4

Determinar qual parte da esfera é representada pela função original. A definição dada foi
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
Por definição da raiz quadrada real temos sempre z\ge 0. Portanto, entre os pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, só são realmente assumidos os que têm z não negativo. Isso corresponde exatamente à semiesfera superior (incluindo a borda na qual z=0).
Em notação de conjuntos a superfície descrita por essa função é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\; z\ge 0\}.

Passo 5

Responder se a função representa toda a superfície (a esfera inteira) e justificar com argumentos simples.
Não representa a esfera inteira. Justificativas:
  • A esfera inteira tem pontos com z<0 e com z>0. A função dada fornece apenas valores z\ge 0 por causa da raiz quadrada (a raiz principal é não negativa).
  • Contraexemplo concreto: o ponto (0,0,-2) pertence à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, mas não pode ser obtido por z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, porque essa expressão dá z=2 em (0,0), nunca z=-2.
  • Outra forma de ver: para um mesmo par (x,y) interior ao disco x^{2}+y^{2}<4 a esfera oferece duas alturas possíveis (uma positiva e uma negativa). Uma função do tipo z=f(x,y) só pode atribuir uma única altura a cada (x,y); portanto não consegue captar as duas folhas (superior e inferior) simultaneamente. Por isso a esfera inteira não é o gráfico de uma única função real z=f(x,y) definida no disco.

Passo 6

Observações extras úteis para a prova (dicas curtas):
  • Sempre que apareceu \sqrt{\cdot}, já pensar em restrição do radicando e em z\ge 0.
  • Para obter a esfera inteira a partir de expressões tipo raiz usa-se as duas funções
z=\pm\sqrt{4-x^{2}-y^{2}},
ou descreve-se a superfície implicitamente por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • No gráfico, z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} é o “capuz” superior da esfera de raio 2; a borda circular onde toca o plano xy é x^{2}+y^{2}=4,\\ z=0.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
(b) \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\ z\ge 0\} (semiesfera superior de raio 2 centrada na origem).
(c) Não. Representa apenas a semiesfera superior ( z\ge 0); a semiesfera inferior ( z<0) não está representada pela função z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.

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