Seja a função
(a) Identifique o domínio.
(b) Identifique a superfície gerada.
(c) Essa função representa toda a superfície? Justifique.
(b) Identifique a superfície gerada.
(c) Essa função representa toda a superfície? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) identificar o domínio da função (conjunto de pontos
em que a expressão está bem definida);
(b) identificar geometricamente a superfície gerada no espaço ;
(c) dizer se essa expressão representa toda a superfície encontrada em (b) e justificar.
(a) identificar o domínio da função
(b) identificar geometricamente a superfície gerada no espaço
(c) dizer se essa expressão representa toda a superfície encontrada em (b) e justificar.
Informações relevantes fornecidas: a expressão sob a raiz é
; a presença da raiz quadrada impõe restrição de sinal no radicando.
Passo 2
Entender o domínio: quando uma função envolve
, a regra básica é que o radicando deve ser não negativo. Ou seja, para que
esteja bem definida em um ponto
precisamos ter
Vou manipular essa desigualdade passo a passo para ficar claro o conjunto de
que satisfazem.
Subtrair
de ambos os lados e multiplicar por
(lembre que isso inverte o sinal da desigualdade) dá
Essa desigualdade descreve geometricamente todos os pontos
cujo quadrado da distância ao origem é menor ou igual a
, isto é, o disco fechado de raio
centrado na origem no plano
. Em linguagem matemática:
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
, então e . - Se
, então (na fronteira) e . - Se
, então e a raiz não é real (fora do domínio).
Passo 3
Identificar a superfície: transformar a expressão em uma equação que relaciona
. Começo elevando ambos os lados ao quadrado (aqui é uma operação reversible com cuidado sobre o sinal):
Rearranjando os termos obtenho a equação
Essa é a equação de uma esfera de centro na origem e raio
no espaço tridimensional. Então algebraicamente a expressão quadrada corresponde à esfera de raio
.
Um comentário didático importante: ao elevar ambos os lados ao quadrado perde-se informação sobre o sinal de
(pois tanto
quanto
têm o mesmo quadrado). Por isso é preciso voltar ao formato original da função para saber qual “parte” da esfera está sendo representada.
Passo 4
Determinar qual parte da esfera é representada pela função original. A definição dada foi
Por definição da raiz quadrada real temos sempre
. Portanto, entre os pontos que satisfazem
, só são realmente assumidos os que têm
não negativo. Isso corresponde exatamente à semiesfera superior (incluindo a borda na qual
).
Em notação de conjuntos a superfície descrita por essa função é
Passo 5
Responder se a função representa toda a superfície (a esfera inteira) e justificar com argumentos simples.
Não representa a esfera inteira. Justificativas:
- A esfera inteira tem pontos com
e com . A função dada fornece apenas valores por causa da raiz quadrada (a raiz principal é não negativa). - Contraexemplo concreto: o ponto
pertence à esfera , mas não pode ser obtido por , porque essa expressão dá em , nunca . - Outra forma de ver: para um mesmo par
interior ao disco a esfera oferece duas alturas possíveis (uma positiva e uma negativa). Uma função do tipo só pode atribuir uma única altura a cada ; portanto não consegue captar as duas folhas (superior e inferior) simultaneamente. Por isso a esfera inteira não é o gráfico de uma única função real definida no disco.
Passo 6
Observações extras úteis para a prova (dicas curtas):
- Sempre que apareceu
, já pensar em restrição do radicando e em . - Para obter a esfera inteira a partir de expressões tipo raiz usa-se as duas funções
ou descreve-se a superfície implicitamente por
.
- No gráfico,
é o “capuz” superior da esfera de raio ; a borda circular onde toca o plano é .
Resposta
(a)
.
(b)
(semiesfera superior de raio
centrada na origem).
(c) Não. Representa apenas a semiesfera superior (
); a semiesfera inferior (
) não está representada pela função
.