Seja a função
f(x, y)=\frac{|x|+|y|}{x}
Determine o domínio da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{|x|+|y|}{x}
e pede para determinar o domínio da função. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é de duas variáveis x e y.
  • O numerador envolve valores absolutos |x| e |y|.
  • O denominador é x.
    A pergunta explicitamente é: para quais pares (x,y) em \mathbb{R}^2 a expressão acima está bem definida?

Passo 2

Lembrete sobre valores absolutos: a função valor absoluto |t|\) está definida para todo \(t\in\mathbb{R}\). Em particular: \[|t|= \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Isso significa que |x|\] e \(|y| existem e são números reais para qualquer x,y\in\mathbb{R}. Portanto o numerador |x|+|y| é sempre bem definido para quaisquer x,y.]

Passo 3

Regra importante de funções: uma fração \dfrac{A}{B} só está definida quando o denominador B for diferente de zero. Aqui o denominador é x. Logo é necessário ter
x\neq 0.
Se x=0 então a expressão \dfrac{|x|+|y|}{x} teria divisão por zero e, portanto, não estaria definida (independente do valor de y).

Passo 4

Portanto a única restrição para o domínio vem de evitar x=0. Não há outras restrições (valores absolutos não restringem nada). Podemos então descrever o domínio de formas equivalentes:
  • como conjunto: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\},
  • como união de dois semi-planos: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<0\},
  • ou como \mathbb{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}, ou seja, o plano todo exceto a reta vertical x=0.

Passo 5

Para convencer, veja a forma explícita da função em cada região:
  • Se x>0, então |x|=x e
f(x,y)=\frac{x+|y|}{x}=1+\frac{|y|}{x},
que está bem definida porque x>0.
  • Se x<0, então |x|=-x e
f(x,y)=\frac{-x+|y|}{x}=-1+\frac{|y|}{x},
que também está bem definida porque x\neq 0.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}

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