Determine o domínio da função e faça um esboço de .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 1} $ e fazer um esboço desse domínio no plano $ \mathbb{R}^{2} $. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ que fazem a função dar certo, ou seja, que não causam nenhum problema como divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função está definida sempre que o denominador não for zero (porque não dá pra dividir por zero, né?). Então, vamos analisar o denominador da nossa função:
x^2 + y^2 - 1 neq 0

Passo 3

Resolvendo a inequação para encontrar onde o denominador NÃO é zero:
x^2 + y^2 neq 1
Isso quer dizer que a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $ não pode ser igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos interpretar o que essa equação representa geometricamente. A equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $ é a equação de uma circunferência de raio 1 com centro na origem do plano $ \mathbb{R}^{2} $. Portanto, a função $ f $ não está definida exatamente nessa circunferência.

Passo 5

Então, o domínio $ D $ da função é tudo no plano $ \mathbb{R}^{2} $ menos os pontos que estão na circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Em outras palavras:
D

Passo 6

Para fazer o esboço de $ D $ no plano, desenhamos todo o plano cartesiano e traçamos a circunferência de raio 1 centrada na origem. O domínio $ D $ inclui todos os pontos dentro e fora dessa circunferência, exceto os pontos que estão exatamente sobre ela.

Resposta

O domínio $ D $ da função é:
D
No esboço de $ D $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $, representamos todo o plano menos a circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso significa que todos os pontos dentro e fora dessa circunferência fazem parte de $ D $, exceto os pontos que estão exatamente sobre a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $.

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