Determine o domínio
da função
e faça um esboço de
.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} - 1} $ e fazer um esboço desse domínio no plano $ \mathbb{R}^{2} $. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ que fazem a função dar certo, ou seja, que não causam nenhum problema como divisão por zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função está definida sempre que o denominador não for zero (porque não dá pra dividir por zero, né?). Então, vamos analisar o denominador da nossa função:
Passo 3
Resolvendo a inequação para encontrar onde o denominador NÃO é zero:
Isso quer dizer que a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $ não pode ser igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos interpretar o que essa equação representa geometricamente. A equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $ é a equação de uma circunferência de raio 1 com centro na origem do plano $ \mathbb{R}^{2} $. Portanto, a função $ f $ não está definida exatamente nessa circunferência.
Passo 5
Então, o domínio $ D $ da função é tudo no plano $ \mathbb{R}^{2} $ menos os pontos que estão na circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Em outras palavras:
Passo 6
Para fazer o esboço de $ D $ no plano, desenhamos todo o plano cartesiano e traçamos a circunferência de raio 1 centrada na origem. O domínio $ D $ inclui todos os pontos dentro e fora dessa circunferência, exceto os pontos que estão exatamente sobre ela.
Resposta
O domínio $ D $ da função é:
No esboço de $ D $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $, representamos todo o plano menos a circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso significa que todos os pontos dentro e fora dessa circunferência fazem parte de $ D $, exceto os pontos que estão exatamente sobre a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $.