Seja f(x, y) uma função tal que nabla f(cos t, sen t)=sen t i+cos t j, para todo 0 <= t <= 2 pi. Calcule o valor da seguinte integral
integralegral duplaD De
sendo D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ cuja gradiente na coordenada $ (\cos t, \sin t) $ é dada por $ \sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} $, para todo $ t $ entre 0 e $ 2\pi $. O objetivo é calcular a integral dupla da Laplaciana de $ f(x, y) $ sobre a região $ D $, que é o disco unitário $ x^2 + y^2 \leq 1 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. O que é a gradiente de uma função e como ela se relaciona com a função em si.
  2. O que é a Laplaciana de uma função.
  3. Como calcular integrais duplas em coordenadas polares, já que a região $ D $ é um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a gradiente de uma função $ f(x, y) $, denotada por $ \nabla f $, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de $ f $ e tem como componentes as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. No nosso caso, sabemos que:
f(x, y)
Isso significa que:
nabla f
Agora, queremos encontrar a Laplaciana de $ f $, que é dada por:
f
Para calcular a integral dupla de $ \Delta f $ sobre $ D $, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de área a integrais de contorno. Especificamente, uma das formas do Teorema de Green relaciona a integral da divergência de um campo vetorial sobre uma área com a integral do fluxo desse campo ao longo do contorno da área.
No nosso caso, vamos considerar o campo vetorial $ \mathbf{F} = \nabla f $. Então, usando o Teorema de Green:
f
Aqui, $ \mathbf{n} $ é o vetor normal ao contorno $ \partial D $, que no caso do disco unitário é o próprio vetor posição $ (\cos t, \sin t) $.
Sabemos que $ \nabla f(\cos t, \sin t) = \sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} $. O vetor normal $ \mathbf{n} $ na fronteira $ \partial D $ é $ \mathbf{n} = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} $. Então, o produto escalar é:
x
Agora, a integral ao longo do contorno $ \partial D $ fica:
y
Como estamos em coordenadas polares e o contorno é o círculo unitário, $ ds = d\theta $, onde $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $. Então:
nabla f(cos t, sin t) = sin t i + cos t j
Calculando essa integral:
partial fpartial x (cos t, sin t) = sin t e partial fpartial y (cos t, sin t) = cos t

Resposta

A integral dupla $ \iint_{D} \Delta f(x, y) , dx , dy $ vale 0.

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