Determine o domínio
da função
e faça um esboço de
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o domínio da função $ f(x, y) = \frac{4}{4 - x^{2} - y^{2}} $ e fazer um esboço desse domínio no plano
. O domínio é basicamente todos os possíveis valores de
e
que a função pode aceitar sem dar problema, como divisão por zero ou números imaginários. Para resolver isso, vamos entender um pouco sobre funções de duas variáveis e restrições que aparecem nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que pode causar problemas na nossa função. Olhando para $ f(x, y) = \frac{4}{4 - x^{2} - y^{2}} $, vemos que ela é uma fração. A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador
não pode ser igual a zero.
Passo 3
Então, vamos resolver a inequação para encontrar onde o denominador não é zero:
Vamos rearranjar essa expressão para ficar mais clara:
Isso significa que a soma dos quadrados de
e
não pode ser igual a 4.
Passo 4
Agora, vamos interpretar isso geometricamente. A equação
representa um círculo com raio 2 no plano
. Então, a condição
nos diz que
e
podem ser quaisquer números reais exceto aqueles que estão exatamente na circunferência desse círculo.
Passo 5
Portanto, o domínio
da função
é todo o plano
menos os pontos que estão na circunferência
. Em outras palavras:
Passo 6
Para fazer o esboço de
no plano
, vamos desenhar todo o plano cartesiano e representar o círculo
com raio 2. Todo o plano está incluído no domínio, exceto os pontos que estão nessa circunferência. Então, no gráfico, você pode desenhar um círculo e sombrear tudo ao redor dele, deixando o círculo em branco ou com uma linha pontilhada para indicar que esses pontos não fazem parte do domínio.
Resposta
O domínio
da função é o conjunto de todos os pontos
no plano
tais que
. Geometricamente, isso corresponde a todo o plano menos a circunferência de raio 2 centrada na origem.