Determine o domínio da função e faça um esboço de .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o domínio da função $ f(x, y) = \frac{4}{4 - x^{2} - y^{2}} $ e fazer um esboço desse domínio no plano f(x, y) = 44 - x^2 - y^2 . O domínio é basicamente todos os possíveis valores de R^2 e x que a função pode aceitar sem dar problema, como divisão por zero ou números imaginários. Para resolver isso, vamos entender um pouco sobre funções de duas variáveis e restrições que aparecem nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que pode causar problemas na nossa função. Olhando para $ f(x, y) = \frac{4}{4 - x^{2} - y^{2}} $, vemos que ela é uma fração. A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador f(x, y) = 44 - x^2 - y^2 não pode ser igual a zero.

Passo 3

Então, vamos resolver a inequação para encontrar onde o denominador não é zero:
4 - x^2 - y^2 neq 0
Vamos rearranjar essa expressão para ficar mais clara:
x^2 + y^2 neq 4
Isso significa que a soma dos quadrados de x e y não pode ser igual a 4.

Passo 4

Agora, vamos interpretar isso geometricamente. A equação x^2 + y^2 = 4 representa um círculo com raio 2 no plano R^2. Então, a condição x^2 + y^2 neq 4 nos diz que x e y podem ser quaisquer números reais exceto aqueles que estão exatamente na circunferência desse círculo.

Passo 5

Portanto, o domínio D da função f(x, y) é todo o plano R^2 menos os pontos que estão na circunferência x^2 + y^2 = 4. Em outras palavras:
D = (x, y) in R^2 mid x^2 + y^2 neq 4

Passo 6

Para fazer o esboço de D no plano R^2, vamos desenhar todo o plano cartesiano e representar o círculo x^2 + y^2 = 4 com raio 2. Todo o plano está incluído no domínio, exceto os pontos que estão nessa circunferência. Então, no gráfico, você pode desenhar um círculo e sombrear tudo ao redor dele, deixando o círculo em branco ou com uma linha pontilhada para indicar que esses pontos não fazem parte do domínio.

Resposta

O domínio D da função é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano R^2 tais que x^2 + y^2 neq 4. Geometricamente, isso corresponde a todo o plano menos a circunferência de raio 2 centrada na origem.

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