Seja F(x, y, z)=y^2 z^3 i+2 x y z^3 j+3 x y^2 z^2 k então
Calcule o trabalho realizado pelo campo F para mover uma partícula do ponto (1,0,1) até o ponto (3,-2,0).

Passo 1

O exercício pede para calcular o trabalho do campo vetorial F(x,y,z)=y^2z^3,i+2xyz^3,j+3xy^2z^2,k ao mover uma partícula do ponto (1,0,1) até (3,-2,0). Vamos usar teoria de campos conservativos e potenciais para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro verificamos se F é um campo conservativo, conferindo se o rotacional é zero. Calculamos as derivadas parciais:
  • dfracpartial F1partial y=2yz^3 e dfracpartial F2partial x=2yz^3.
  • dfracpartial F1partial z=3y^2z^2 e dfracpartial F3partial x=3y^2z^2.
  • dfracpartial F2partial z=6xyz^2 e dfracpartial F3partial y=6xyz^2.
    Como todas as componentes do rotacional coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Agora buscamos um potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F.
Integrando dfracpartial phipartial x=y^2z^3 em relação a x, obtemos
phi(x,y,z)=x,y^2z^3+C(y,z)

Passo 4

Derivando isso em relação a y e igualando a F2=2xyz^3 leva a C independente de y. Depois, derivando em relação a z e igualando a F3=3xy^2z^2 mostra que C é constante. Assim, podemos tomar
phi(x,y,z)=x,y^2z^3

Passo 5

Em campos conservativos, o trabalho é
W=phi(3,-2,0)-phi(1,0,1)

Passo 6

Calculando cada termo:
  • phi(3,-2,0)=3cdot(-2)^2cdot0^3=0
  • phi(1,0,1)=1cdot0^2cdot1^3=0

Resposta

0

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